Задача 1. 1.1-1.20.Даны координаты точек А,В,С

1.1-1.20. Даны координаты точек А,В,С. Найти уравнения сторон треугольника АВС. Найти уравнение одной из медиан треугольника АВС. Найти уравнение одной из высот треугольника АВС. Найти уравнение одной из биссектрис треугольника АВС. Найти площадь треугольника АВС.

вариант	А	В	С	вариант	А	В	С
1.1	(1;2)	(2;0)	(-1;1)	1.11	(1;3)	(3;0)	(-1;1)
1.2	(2;1)	(1;0)	(-1;2)	1.12	(3;1)	(1;0)	(-1;3)
1.3	(2;1)	(1;1)	(-1;2)	1.13	(3;0)	(1;1)	(-1;3)
1.4	(2;1)	(1;0)	(1;-1)	1.14	(3;-1)	(1;0)	(1;1)
1.5	(-1;0)	(2;1)	(1;-1)	1.15	(-1;0)	(3;1)	(1;-1)
1.6	(1;-1)	(-1;0)	(2;1)	1.16	(1;-1)	(-1;0)	(3;1)
1.7	(1;-2)	(0;1)	(2;-1)	1.17	(1;-3)	(0;1)	(3;-1)
1.8	(2;-1)	(1;-2)	(0;1)	1.18	(3;-1)	(1;-3)	(0;1)
1.9	(-2;1)	(-1;-2)	(1;2)	1.19	(-3;1)	(-1;-3)	(1;3)
1.10	(2;2)	(-2;1)	(1;1)	1.20	(-3;3)	(3;1)	(1;1)

Указания к задаче.

Для решения задачи 1 (прямая линия на плоскости) следует использовать следующие сведения:

1). Угол наклона прямой к оси ОХ – это тот угол, на который нужно повернуть ось ОХ, чтобы она совпала с данной прямой (или оказалась параллельной ей). Как обычно, угол положителен, если по­ворачиваем против часовой стрелки, и отрицателен, если поворачи­ваем по часовой стрелке. Будем обозначать его буквой φ.

2). Угловой коэффициент прямой - это тангенс угла наклона пря­мой к оси ОХ. Будем обозначать его буквой k. Следовательно. k = tgφ (1)

3). Уравнение прямой с угловым коэффициентам

Если прямая не параллельна оси OY (рис. I), то ее уравнение y=kx+b, (2)

где b - координата точки пересечения прямой с осью OY, k - угловой коэффициент прямой, (x,у) - координаты любой точки на прямой.

Если прямая параллельна оси OY (рис. 2), то ее уравнение x = a, (3)

где a – абсцисса точки пересечения прямой с осью OX.

4). Уравнение прямой, проходящей через точку М₀(x₀,y₀) и имеющую угловой коэффициент k, y-y₀₌k(x-x₀), (4)

где (x₀, y₀) - координаты заданной точки на прямой, k - угловой коэффициент прямой, (x, y) - координаты любой точки на прямой.

5). Уравнение прямой, проходящей через две заданные, точки М₁(x₁,y₁) и М₂(x₂,y₂):

(5)

где; (x₁, y₁) - координаты одной точки на прямой, (x₂, y₂) - координаты другой точки на прямой, (x, y) - координаты любой точки на прямой.

6). Общее уравнение прямой: Ax + By +C=0, (6)

где A, B, С - заданные числа, причем А и В одновременно в нуль не обращаются. (x, y) - координаты любой точки на прямой.

Если В не обращается в нуль, то уравнение (6) можно преобра­зовать следующим образом: (6')

Тогда, сопоставив формулы (6') и (2), имеем:

7). Условие параллельности двух прямых k₁=k₂; (7)

где k1 и k2 - угловые коэффициенты прямых.

8). Условие перпендикулярности двух прямых k₁·k₂=-1, (8)

где k₁ и k₂ - угловые коэффициенты прямых.

9). Нахождение координат точки пересечения двух прямых.

Если две непараллельные прямые заданы своим уравнениями: A₁X+B₁Y+C₁=0 и A₂X+B₂Y+C₂=0, то координаты точки пересечения этих прямых - есть решение системы уравнений: (9)

10). Нахождение координат середины отрезка

Если точка А имеет координаты (x_а, y_а), а точка В - (x_ь, y_ь), то координаты середины отрезка АВ точки О можно найти по формулам:

(10)

11. Деление отрезка в данном отношении

Если точка А имеет координаты (x_а, y_а), а точка В - (x_ь, y_ь), то координаты точки С делящей отрезок АВ в отношении :n можно найти по формулам:

(11)

12). Нахождение длины отрезка

Если точка А имеет координаты (x_а, y_а), а точка В - (x_ь, y_ь), то длину отрезка АВ можно найти по формуле:

(11)

13). Нахождение угла между прямыми:

, ,

13). Площадь треугольника. Пусть А₁(x₁,y₁), А₂(x₂,y₂), А₁(x₃,y₃)- вершины треугольника, тогда его площадь выражается формулой:

Рассмотрим несколько примеров применения приведенных формул.

Задача. Точки A(-2,1), В(5,-2) и С(0,4 ) являются вершинами треугольника ABC:

а) Найти уравнение медианы треугольника.

Решение. Обозначим середину стороны ВС буквой M, тогда координаты точки M найдем по формулам деления отрезка пополам.

Уравнения медианы AM найдем, используя формулу для уравнения прямой, проходящей через две заданные точки. Медиана AM проходит через точки

А(-2;1) и М(2,5;1), поэтому:

б) Найти уравнение одной из сторон треугольника.

Решение. Сторона АВ проходит через точки A(-2,1) и В(5,-2), поэтому её

уравнение будем искать в виде. Подставляя координаты точек

получим

в) Найти уравнение одной из высот треугольника.

Решение. Найдём уравнение высоты СК, проходящей через С(0,4 ) перпендикулярно АВ:. Определим угловой коэффициент прямой АВ: 7у=-3х+1, k_{АВ =} -3/7. Угловой коэффициент СК найдём из условия перпендикулярности прямых k₁·k₂=-1, k_АВ·k_СК=-1, k_СК=7/3. Подставляя в уравнение y-y₀₌k(x-x₀), получим у-4 = 7/3(х – 0), у-4 = 7/3х, 7/3х-у+4 = 0

г) Найти площадь треугольника АВС.

Решение. Воспользуемся формулой