Вывод средних. Доказательство мажорантности средних

Между рассмотренными видами средних существует взаимосвязь которая определяется формулой степенной средней: степенная простая средняя; степенная взвешанная средняя

Для доказательства взаимосвязи между средними используем формулу степенную простую среднюю , предавая различные значения в зависимости от статистической размеренности индивидуальных варьирующих величин, подлежащих осреднению:

При =-1, получим - средняя гармоническая

При =0, получим .

Неопределенность вида приводит к неопределенности вида, которая раскрывается по правилу Лопиталя (предел отношения двух величин, каждая из которых стремится к нулю, может быть определен путем нахождения предела отношения их производных). На основании этого правила доказано, что

Следовательно, при =0, получим формулы: средней геометрической простой ; средней геометрической взвешенной

При =1, получим - среднюю арифметическую

При =2, получим - средняя квадратическая

При =3, получим - формула средней кубической

Важная особенность средней заключается в том, что для одного и того же ряда чисел величина ее возрастает с возрастанием ее порядка:

Такое соотношение между величинами различных средних принято называть мажорантностью средних.