Геометрическое распределение

Определение. СВДТ Х имеет геометрическое распределение, если ее возможные значения (реализации) , где (счетное множество значений), а соответствующие им вероятности выражаются формулой , где ; .

Вероятности для последовательных значений m образуют геометрическую прогрессию с первым членом p и знаменателем q (отсюда и название – «геометрическое распределение»).

Замечание. Это распределение зависит от одного параметра p, поэтому пишут .

Геометрическое распределение появляется в следующих условиях. Пусть производится ряд независимых опытов с целью получения какого-то результата («успеха»). При каждом опыте «успех» достигается с вероятностью p. СВ Х – это число «безуспешных» попыток (до первой попытки, в которой появляется «успешный» результат).

Очевидно, что наиболее вероятное значение случайной величины , т.е. мода .

Важнейшие числовые характеристики случайной величины X, имеющей геометрическое распределение:

, , .

На практике чаще приходится рассматривать не случайную величину Х, имеющую геометрическое распределение, а другую случайную величину Y –число попыток до первого «успеха», включая удавшуюся. Ряд распределения случайной величины Y имеет вид:

Y			…	m	…
P	p	qp	…		…

Такое распределение часто называют «геометрическим, сдвинутым на единицу», или «геометрическим + 1 ».

Очевидно, что наиболее вероятное значение случайной величины Y, т.е. мода .

Важнейшие числовые характеристики случайной величины Y:

; , .

Пример 2.1.31. Стрелку выдаются патроны до тех пор, пока он не промахнется. Вероятность его попадания в цель при каждом выстреле – . Какова вероятность того, что он получит не менее трех патронов?

Решение. Пусть случайная величина Х – это количество патронов, которое получит стрелок. Тогда:

X				…
P	0,1	0,9×0,1	0,92×0,1	…

Отсюда .

Ответ: 0,81.

Пример 2.1.32. Вероятность попадания баскетболистом в корзину при штрафном броске равна . На тренировке баскетболист выполняет штрафные броски до тех пор, пока не попадет в корзину, а затем передает мяч другому игроку. Пусть X – количество бросков, сделанных баскетболистом. Составить закон распределения случайной величины X, найти ее наиболее вероятное значение (моду), и .

Решение. Случайная величина X имеет «геометрическое + 1» распределение, в котором , . Тогда закон распределения случайной величины X удобно задать аналитически:

, где .

Наиболее вероятное значение (мода) , , .

Ответ: , , .