![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Пусть на прямой в точках расположены точечные массы
,
. В этом случае
– центр тяжести,
– момент инерции масс
относительно центра тяжести. Таким образом, математическое ожидание характеризует место, вокруг которого группируются массы
, а дисперсия – степень разбросанности этих масс около математического ожидания.
В заключение этого пункта вычислим математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение (здесь
):
![]() | ||
P | q | p |
,
,
.
Пример 2.1.17. Закон распределения случайной величины X имеет вид:
X | |||
P | 0,1 | 0,2 | x |
Найти x. Составить функцию распределения. Вычислить: ,
,
и
.
Решение. Согласно условию нормировки имеем уравнение: . Отсюда
. Далее, воспользовавшись рядом распределения, найдем:
,
,
,
.
Ответ: ,
,
,
,
.
Пример 2.1.18. Известно, что случайная величина X, принимающая два значения и
, имеет математическое ожидание, равное 2,2. Построить ряд распределения случайной величины X, найти дисперсию, среднее квадратическое отклонение и составить функцию распределения.
Решение. Пусть . Тогда, согласно условию нормировки,
. Используя определение математического ожидания, получим
. Имеем уравнение
, откуда находим
. Ряд распределения имеет вид:
X | ||
P | 0,8 | 0,2 |
Теперь вычислим дисперсию и среднее квадратическое отклонение:
;
.
Согласно определению функция распределения имеет вид
Ответ: ,
,
Пример 2.1.19. Возможные значения случайной величины X таковы: ,
,
. Известно, что
,
. Найти вероятности, соответствующие возможным значениям X, и записать ряд распределения.
Решение. Ряд распределения, с учетом возможных значений случайной величины X, будет выглядеть следующим образом:
X | |||
P | ![]() | ![]() | ![]() |
Найдем вероятности ,
и
, соответствующие возможным значениям X.
По условию , поэтому имеем первое уравнение, связывающее
,
и
:
. Аналогично из условия
получим второе уравнение:
. Третье уравнение возникает из условия нормировки:
. Итак, имеем систему:
Решением системы, опуская промежуточные выкладки, являются следующие числа: ,
,
.
Ответ: ряд распределения имеет вид
X | |||
P | 0,2 | 0,3 | 0,5 |
Пример 2.1.20. Плотность случайной величины X представлена на графике (рис. 2.1.7). Найти константу h. Составить функцию распределения
и построить ее график. Найти
, математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х.
Решение. 1) Найдем константу h из условия нормировки. Имеем уравнение
, или, исходя из геометрического смысла интеграла,
. Отсюда
. Таким образом, функция плотности
имеет вид:
2) По определению .
Пусть , тогда
.
Пусть , тогда
.
Пусть , тогда
.
Пусть , тогда
.
Таким образом, функция распределения
:
График функции распределения приведен на рис. 2.1.8.
3) .
4) По определению математического ожидания , поэтому:
.
По определению дисперсии , поэтому:
.
Ответ: ,
,
,
,
.
Дата публикования: 2014-11-29; Прочитано: 579 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!