Дискретные случайные величины

Определение. Случайная величина называется дискретной, или дискретного типа (сокращенно СВДТ), если множество ее возможных значений конечно или счетно.

Простейшей формой закона распределения СВДТ с конечным множеством значений является ряд распределения, который задается аналитически или при помощи таблицы.

Пример 2.1.4. Гипергеометрическое распределение – распределение числа белых шаров X в выборке без возвращения объема n из урны, содержащей М белых и черных шаров:

.

Пример 2.1.5. Равномерное распределение на множестве :

.

В ряде распределения, задаваемом при помощи таблицы, в верхней строке расположены по возрастанию все возможные значения СВДТ X, а в нижней – соответствующие им вероятности , :

X			…
P			…

Имеет место равенство , т.к. события , , …, попарно несовместны и образуют полную группу. С помощью этой таблицы можно найти вероятности любых событий:

.

Пример 2.1.6. Закон распределения СВДТ X задан при помощи таблицы:

X
P	0,1	0,3	0,2	0,4

Найти вероятность события .

Решение. .

Ответ: 0,4.

Графическое изображение ряда распределения называется многоугольником распределения. Для случайной величины из примера 2.1.6 многоугольник распределения показан на рис. 2.1.1.

Кроме геометрической интерпретации распределения СВДТ X часто оказывается полезной механическая интерпретация в виде ряда материальных точек на оси абсцисс, имеющих массы соответственно, причем .

Зная закон распределения СВДТ X, можно составить функцию распределения , представляющую собой, согласно определению, функцию накопленных вероятностей:

,

где суммирование распространяется на все значения индекса i, для которых .

Из равенства следует, что в точках разрыва функции имеет место положительная вероятность . Так как при каждом натуральном n может быть не более n точек x с вероятностями , то у функции имеется не более счетного числа точек разрыва.

Обозначим все точки разрыва функции . Если вероятности таковы, что , то это равносильно тому, что случайная величина X имеет дискретное распределение, т.е. является СВДТ.

Замечание. Для СВДТ X функция распределения имеет ступенчатый вид, испытывая скачки в точках x, для которых существует положительная вероятность события . При этом уточним, что стрелки «ступенек» должны быть, согласно определению , направлены влево!!!

Пример 2.1.7. Закон распределения СВДТ задается при помощи таблицы:

X	–3	–1
P	0,1	0,3	0,1	0,3	0,2

Составить функцию распределения и построить ее график. С помощью найти вероятности событий и .

Решение. По определению , поэтому:

График функции распределения приведен на рис. 2.1.2.

;

.

Ответ: , .

Введем важное понятие индикатора события.

Определение. Индикатором события называется СВДТ

Если р – вероятность события А, то ряд распределения случайной величины имеет следующий вид:

P		p

Многоугольник распределения СВДТ (при ) построен на рис. 2.1.3 а. Функция распределения СВДТ :

График функции распределения приведен на рис. 2.1.3 б.

а б

Рис. 2.1.3.

Пример 2.1.8. Законы распределений СВДТ X и Y заданы при помощи таблиц:

X	–1			Y
P	0,5	0,5		P	0,5	0,5

Сравнить и .

Решение. Используя ряды распределений, получим:

,

.

Тогда

,

.

Значит, .

Ответ: .

Пример 2.1.9. В урне 5 белых и 25 черных шаров. Вынули один шар. Случайная величина Х – число вынутых белых шаров. Составить функцию распределения .

Решение. Поскольку вынимается только один шар, то возможны два элементарных исхода:

, .

Поэтому случайная величина Х – число вынутых белых шаров – может принимать только два значения: 0 и 1. При этом , . Ясно, что

, .

Можно построить ряд распределения

X
P

Функция распределения СВДТ X:

Ответ: