Обрантая матрица. Теоремы о существовании и единственности обратной матрицы. 2 способа нахождения матрицы. Решение системы линейных уравнений с помощью обратной матрицы

Определение 1: Квадратная матрица А называется не вырожденной, если ее определитель не равен нулю.

Квадратная матрица А называется вырожденной, если ее определитель равен нулю.

Определение 2:

Обратной для квадратной матрицы А называется матрица А^-1 такая, что матрица А умножить на А^-1 равно единичной матрицы.

Теорема о существовании обратной матрицы.

Для того что бы квадратная матрица А имела обратную А^-1 необходимо и достаточно, что бы она не была не выраженной. Необходимость матрицы имеет обратную.

А А^-1 =Е (еденичной)

detA(А А^-1 )= detЕ

det А^-1 * det А= 1

detА≠0

det А^-1 = 1 / det А

Достаточность матрицы.

detА=δ≠0

А=А*

Транспонируем матрицу и в транспонированной матрице каждый элемент заменяем на его алгебраическое дополнение. Получаем матрицу называемую присоединенной матрицей А*.

Теорема о единственности обратной матрицы.

Если матрица А имеет обратную, то эта обратная матрица единственная.

Док-во:

A A^-1

AB=E

A A^-1 =E

AA^-1 B=A^-1 E

B=A^-1 Обязаны совпадать.

Способ нахождения обратной матрицы из теоремы о сущ. И един. Обратной матрицы.

1. Найти определитель матрицы detA≠0

2. Найти алгебраические дополнения для всех элементов матрицы А.

3. Составить присоединенную матрицу(А*) записывая алгебраические дополнения элементов каждой строки элементов А в соответствующей по номеру столбец.

4. Находим обратную по формуле А^-1=1А*/δ

5. Сделать проверку А А^-1=Е.

Второй способ нахождения обратной матрицы.

К элементарным преобразованиям матрицы относим следующее:

1.Умножение любой строки на любое число ≠0

2.Перестановку строк.

3.Прибавление элементов какой любо строки умноженных на любое число к соответствующим элементам другой строки.

(А|Е) (Е|А^-1)

Решение системы линейных уравнений с помощью обратной матрицы.

AX-B X= А^-1 B

А^-1A= А^-1B detA≠0

Ex= А^-1B А^-1