Матрицы. Виды матриц. Действия с матрицами. Матричная запись системы линейных уравнений

Матрицы.

Определение1:

Матрицы размеров S*n называется совокупность Sn действительных чисел расположенных виде таблицы, где S – количество строк, n - количество столбцов.

Определение2: Числа,которые образуют матрицу, aij, i=1,s, j=1,n, называют элементами матрицы.

Определение3: Числа i и j называются индексами элемента aij, i показывает, в какой строке расположен данный элемент, а j – в каком столбце находится этот элемент.

Две матрицы считаются равными, если равны их соответствующие элементы.

Виды матриц.

Если число строк = числу столбцов (S=n), то матрица называется квадратной матрицей порядка n.

Матрица размером S*1 называется матрицей-столбцом.

Матрица размера1*n называется матрицей-строкой.

Определение1: Элементы матрицы, имеющие равные индексы, образуют главную диагональ матрицы.

Определение2:Квадратная матрица называется диагональной, если все элементы вне ее главной диагонали равны 0.

Определение3: Диагональная матрица n-го порядка, у которой диагональные элементы раны 1, называются единичной матрицей n-го порядка и обозначается Е.

Определение4: Матрица называется матрицей треугольного вида, если все элементы над(под) главной диагональю =0.

Определение5: Матрица в которой все элементы =0 называются нульматрицей.

Действия с матрицами.

Определение1: Транспонированием матрицы называется такое преобразование матрицы, при котором строки и столбцы меняются ролями при сохранении номеров. Транспонированная матрица А^Т n*S.

А^Т_s*n =C_n*s, c_{ij =} a_ij , i=1,s, j=1,n.

Для квадратной матрицы это преобразование эквивалентно симметричному отображению относительно главной диагонали.

Матрица совпадающая со своей транспонированной А= АТ навевается симметрической.

Определение2: Сложение матрицы.

Суммой(разностью) 2х матриц одинакового порядка называется матрицей того же порядка, каждый элемент которого равен сумме(разности) соответствующих элементов исходных матриц.

A_s*n±B_s*n=C_s*n, c_{ij =} a_ij±b_ij , i=1,s, j=1,n.

Опреденение3: Произведением матрицы на число называется матрица того же размера, каждый элемент которой равен произведению соответствующего элемента исходной матрицы на это число.

k*A_s*n=C_s*n, c_ij=ka_ij,, i=1,s, j=1,n.

Определение4: Произведением 2х матриц А и В, размеры которых заданы соотношением: количество столбцов 1ой матрицы = количеству строк 2ой, называется матрица С, у которой количество строк = количеству строк 1ой матрицы, а количество столбцов = количеству столбцов 2ой. Каждый элемент данной матрицы равен сумме попарных произведений элементов соответствующей строки 1ой матрицы и элементов соответствующего столбца 2ой.

A_s*n*B_s*n=C_s*n, c_{ij =} a_ij*b_ij + a_i2*b_i2 +…+ a_iр*b_рj, i=1,s, j=1,n.

Матричная запись системы линейных уравнений.

AX = B, где

Матрицу A называют матрицей (или основной матрицей) системы. Матрицу

называют расширенной матрицей системы, а матрицу С=(с₁,с_2,….Сn)^т для которой AС = В, - вектор-решением системы.