Погашение долга в рассрочку

Погашение долга в рассрочку предполагает выплату задолженности по частям в течение определенного периода времени.

Может осуществляться двумя способами:

· погашение основного долга равными суммами;

· погашение всей задолженности равными или переменными суммами по обслуживанию долга (срочными выплатами)

Погашение основного долга равными суммами

Пусть долг D погашается равными долями в течении n лет. Ежегодная сумма, идущая на погашение составит d = D/n. Размер долга последовательно уменьшается: D, D-d, D-2d… Соответственно уменьшаются и выплачиваемые проценты, т.к. они начисляются на остаток долга. Пусть проценты выплачиваются раз в год по ставке g. Тогда ряд выплат процентов имеет вид: Dg; (D-d)g; (D-2d)g…

Эти платежи образуют убывающую арифметическую прогрессию. Срочная выплата в конце первого года:

Y₁ = D₀g+d

Для конца года t:

Y_t = D _t-1 g + d, t=1…n

Остаток долга на конец года t - D_t, при D₀= D

D_t = D _t-1 [(n-1)/n]

Если долг выплачивается «р» раз в год и с такой же частотой выплачиваются проценты по ставке g/p, то срочная выплата составит:

Y_t = (D _t-1 *g) / p + D₀ / pn, t = 1, 2, …n

Остаток задолженности на конец года t равен:

D_t = D _t-1 [(pn-1)/pn]

Аналогично определяется и для других видов рент.

Пример

Долгосрочный займ D = 1 млн. руб. гасится последовательно равными суммами в течении n=5 лет (постнумерандо). Ставка процента по кредиту 10%. Разработать схему погашения займа.

1. Размер погашения основного долга в год:

d = D/n = 1000000/5 = 200000 руб.

2. Ежегодные проценты выплаты составляют: 1 год – 1000000*0,1; 2-(1000000-200000)*0,1; 3 год – (1000000-2*200000)*0,1 и т.д.

План представим в виде таблицы:

Год	остаток долга на начало долга	Расходы по займу	Погашение займа	Сумма процента, в руб.

У данного метода амортизации задолженности есть несомненный плюс: это простота расчетов. Но срочные выплаты в конце срока выше, чем в конце, что не всегда удобно должнику (поскольку займ он только получил, средства только начали процесс и вряд ли сразу же принесут высокий процент доходов).

Погашение долга равными срочными выплатами

Для данного метода расходы должника по обслуживанию долга постоянны на протяжении всего срока его погашения.

Из общей суммы расходов должника часть выделяется на уплату процентов, а остаток идет на погашение основного долга. Величина долга здесь также последовательно уменьшается, следовательно, уменьшаются платежи по процентам, и возрастает доля, идущая на погашение долга.

План погашения разрабатывается при известном сроке займа, затем определяется размер срочной выплаты, которая делится на процентные платежи и сумму, идущую на погашение долга.(остаток)

Реже решают альтернативную задачу, т.е. по фиксированной сумме срочных выплат определяется срок погашения долга (указывается в контракте).

Периодическая выплата постоянной суммы У – это рента с заданными параметрами. Приравняв сумму долга к современной величине ренты, находим:

D = У*a _n.g У = D/ a _n*g g – ставка процента по займу.

Определим сумму первого погасительного платежа:

d₁ = У– D₀*g (сумма, которая из выплаты У идет на погашение основного долга).

Суммы, которые идут на погашение основного долга увеличиваются во времени: d_t = d _t-1(1+g)

Поэтому, этот метод называется еще прогрессивным.

Платежи по погашению основного долга образуют ряд:

d₁, d₁(1+g), …, d₁(1+g)^n-1

Можно определить сумму погашенной задолженности на конец года t (после очередной выплаты).

W _t = ∑ d₁(1+g)^k = d₁ + s_t.g

s_t.g – коэффициент наращения постоянной ренты постнумерандо

Пример

Займ в 1 млн. руб. нужно погасить равными срочными выплатами в течении 5 лет. За займ выплачивается 10% годовых. Выплаты формируют ренту с параметрами: у(неизв.), n = 5, g = 10%.

y = D/ a _n*g; a _n*g = (1 - (1+g)^-n)/g = 1 – (1,1)^-5 = 3,790787

y = 1000000/3790787 = 263797 руб.

1. Определим сумму периодической постоянной выплаты.

2. Определим сумму первого погасительного платежа (сумма, которая из выплаты у идет на погашение основного долга).

d₁ = y – D₀*g

d₁ = 263797 – (1000000 * 0,1) = 163797 руб.

D₁ = 1000000 – 163797 = 836203 руб. (остаток)

Год	Остаток долга на начало года	Расходы по займу	Проценты в руб.	Погашение долга

Пример

Необходимо определить сумму погашенного долга на конец 3 года при условии, что нет плана погашения займа.

W_t = d₁* ρ _t*g = W₃ = 163797*3,31 = 542168 руб.

d₁ = 163707 руб.

ρ _3.10 = (1+0,1)³ – 1/0,1 = 3,31

Аналогично разрабатывается планы и для погашения займа не единичными годовыми выплатами, а несколькими платежами в каждом году.

Альтернативная постановка задачи может возникнуть на стадии разработки условий займа. Ее решение позволяет определить срок займа (погашения основной суммы долга) и корректировки условий для сбалансированности платежей.

Срок платежей находится как срок постоянной ренты. Если выплаты раз в год, т.е. рента постнумерандо, то зависимость такова:

n = [-ln(1 - D₀/y*g)] / ln(1+g)

Решение существует, когда D₀/y*g < 1, расчетное значение «n» получается дробным. Его округляют до ближайшего целого наименьшего числа. Но тогда план погашения не будет сбалансированным. Ликвидация дисбаланса платежей возможна 2 способами:

- определение нового значения У

- компенсация остатка долга разовым платежом.

Пример

Предприятие получило займ D = 1000000 руб., g = 10%. Для погашения займа предполагается выделять сумму в 200000 руб. Оценить величину срока, нужную для погашения задолженности.

n = [-ln(1-1000000/200000*0.1)/ln1.1] = 7.2725 года ~ 7 лет

Корректируем y: y = D/a_ng = 1000000/a _{7.1 4.868418} = 205.405 руб

Если погасительные платежи и начисленные проценты выплачиваются «р» раз в году, то расчетное число периодов погашения займа равно:

n = [-ln(1- D₀/y*g) ] / ln(1+g/p)

Переменные расходы по займу

Для должника не всегда удобно, когда У – постоянная величина. Погашение долга может быть связано с поступлением средств из разных источников, срочные выплаты в этом случае образуют ряд, члены которого либо задаются заранее (график платежей), либо следуют некоторому формальному закону – функции.

Рассмотрим только один вариант – изменение расходов в геометрической прогрессии. Срочные выплаты формируют геометрическую прогрессию со знаменателем q: у; y_q; y_q ²; …; y_q ^n-1.

Приравняв современную стоимость этой ренты к сумме первоначального долга, находим:

У = D₀*[(q-(1+g)) / (q/(1+g)ⁿ-1)]

q – заданный годовой темп прироста

Далее рассчитываются суммы, идущие на погашение основного долга и формируется график погашения займа.