Критерий для проверки гипотезы о математическом ожидании

Пусть генеральная совокупность Х имеет нормальное распределение, и требуется проверить предположение о том, что ее математическое ожидание равно некоторому числу а ₀. Рассмотрим две возможности.

1) Известна дисперсия σ² генеральной совокупности. Тогда по выборке объема п найдем выборочное среднее и проверим нулевую гипотезу Н ₀: М (Х) = а ₀.

Учитывая, что выборочное среднее является несмещенной оценкой М (Х), то есть М () = М (Х), можно записать нулевую гипотезу так: М () = а ₀. Для ее проверки выберем критерий

. (19.3)

Это случайная величина, имеющая нормальное распределение, причем, если нулевая гипотеза справедлива, то М (U) = 0, σ (U) = 1.

Выберем критическую область в зависимости от вида конкурирующей гипотезы:

- если Н ₁: М () ≠ а ₀, то и_кр: , критическая область двусторонняя, , и, если | U_набл | < u_кр, то нулевая гипотеза принимается; если | U_набл | > u_кр, то нулевая гипотеза отвергается.

- если Н ₁: М () > а ₀, то и_кр: , критическая область правосторонняя, и, если U_набл < u_кр, то нулевая гипотеза принимается; если U_набл > u_кр, то нулевая гипотеза отвергается.

- если Н ₁: М () < а ₀, то и_кр: , критическая область левосторонняя, и, если U_набл > - u_кр, то нулевая гипотеза принимается; если U_набл < - u_кр, то нулевая гипотеза отвергается.

2) Дисперсия генеральной совокупности неизвестна.

В этом случае выберем в качестве критерия случайную величину

, (19.4)

где S – исправленное среднее квадратическое отклонение. Такая случайная величина имеет распределение Стьюдента с k = n – 1 степенями свободы. Рассмотрим те же, что и в предыдущем случае, конкурирующие гипотезы и соответствующие им критические области. Предварительно вычислим наблюдаемое значение критерия:

. (19.5)

- если Н ₁: М () ≠ а ₀, то критическая точка t_{двуст.кр.} находится по таблице критических точек распределения Стьюдента по известным α и k = n – 1.

Если | T_набл | < t_{двуст.кр.}, то нулевая гипотеза принимается.

Если | T_набл | > t_{двуст.кр.}, то нулевая гипотеза отвергается.

- если Н ₁: М () > а ₀, то по соответствующей таблице находят t_{правост.кр.} (α, k) – критичес-кую точку правосторонней критической области. Нулевая гипотеза принимается, если

T_набл < t_{правост.кр.}.

- при конкурирующей гипотезе Н ₁: М () < а ₀ критическая область является левосторон-ней, и нулевая гипотеза принимается при условии T_набл > - t_{правост.кр.}. Если T_набл < - t_{правост.кр.}., нулевую гипотезу отвергают.