Инвестиции в В 6 страница

Этот пример взят из работы Holt A. "Multi-Item Inventory Control for Fluctuating Reor­der Intervals", Interfaces, Vol. 16, No. 3, pp. 60-67, 1986.

Глава 16. Вероятностные модели управления запасами

		Объем заказа (единицы)
Длина цикла (месяцы)	Продукция 1	Продукция 2	Продукция 3
2,3
2,6
0,4
2,0
1,2
1,4
1,7
1,3
1,1
1,8
1,6
0,5
2,1
2,3
2,4
2,1
2,2
1,8
0,7
2,1

Проверка по критерию согласия для всех приведенных данных (см. главу 12) показывает, что распределение коэффициентов спроса (объем заказа, делен­ный на длину цикла) для трех наименований продукции является распреде­лением Вейбулла /(г), плотность вероятности которого задается формулой

= _г>о,

где 1--коэффициент спроса на продукцию. Дальнейший анализ показыва­ет, что распределение обратной величины к длине цикла s(x) является экс­поненциальным

s(x)^ ре^\х>а,

где а — минимальное значение, которое может принимать л:.

Определение оптимального объема заказа основано на максимизации ожи­даемой прибыли в месяц, которая определяется формулой

Ожидаемая прибыль =

где t и g(t) представляют соответственно длину цикла и ее плотность веро­ятности. Функция прибыли u(q, г, t) определяется чистым доходом р от единицы продукции, стоимостью хранения h единиц продукции на про­тяжении месяца и фиксированными затратами К, связанными с размеще­нием заказа.

-\u{q,r,t)f{r)dr g{t)dt=\ x\u\q,r,-\f(r)dr

s(x)dx,

Комплексные задачи

1. Определите плотность вероятности спроса для каждого наименования про­дукции на основе данных таблицы.

2. Используйте приведенные в таблице значения длины цикла для определе­ния s(x).

3. Получите в математической форме выражение для u(q, г, t).

4. Определите оптимальный объем заказа для трех наименований продукции при следующих данных (все величины измеряются в долл.): р, = 100, р₂ = 150, р₃ = 125, Л, = 2, Л₂ = 1,20, Л₃ = 1,65 и К = 30.

ГЛАВА 17

СИСТЕМЫ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ

Ожидание того или иного вида обслуживания является частью нашей повсе­дневной жизни. Мы ожидаем, чтобы пообедать в ресторане, мы стоим в очереди к кассам в продовольственных магазинах и выстраиваемся в очередь в почтовых отделениях. Однако феномен ожидания характерен не только для людей: детали, поставленные в очередь для обработке на станке; группа пассажирских самолетов, ожидающих разрешения на посадку в аэропорту; автомобили, движение которых приостановлено сигналом светофора на пути их следования и т.п. К сожалению, феномен ожидания нельзя исключить без чрезмерных расходов. И лишь на одно мы можем надеяться — на возможность сокращения времени нежелательного ожидания в очереди до некоторых терпимых пределов.

17.1. ЧТО ТАКОЕ ОЧЕРЕДЬ

Изучение очередей в системах массового обслуживания позволяет определить критерии функционирования обслуживающей системы, среди которых наиболее значимыми являются среднее время ожидания в очереди и средняя длина очереди. Эта информация используется затем для выбора надлежащего уровня обслужива­ния, что продемонстрировано в следующем примере.

Пример 17.1.1

Посетители ресторана быстрого питания жалуются на медленное обслуживание. В настоящее время в ресторане работают три кассира. Управляющий поручил консал­тинговой фирме провести расследование жалобы. В результате была обнаружена сле­дующая зависимость между числом кассиров и временем ожидания обслуживания.

Число кассиров 1 2 3 4 5 6 7

Среднее время ожидания (мин.) 16,2 10,3 6,9 4,8 2,9 1,9 1,3

Приведенные данные свидетельствуют о том, что при работающих в настоящее время трех кассирах среднее время ожидания обслуживания примерно равно 7 мин. Управляющий хочет уменьшить его примерно до трех минут. Как следует из этих же данных, среднее время ожидания становится меньше 3 мин., если число кассиров больше или равно пяти.

Глава 17. Системы массового обслуживания

Результаты исследования системы обслуживания также можно использовать для оптимизации модели со стоимостными характеристиками, в которой миними­зируется сумма затрат, связанных с предоставлением услуг, и потерь, обусловлен­ных задержками в их предоставлении. На рис. 17.1 изображена типичная стоимо­стная модель системы обслуживания (в денежных единицах за единицу времени), где затраты на обслуживание возрастают с ростом его уровня. В то же время потери, обу­словленные задержками в предоставлении услуг, уменьшаются с возрастанием уров­ня обслуживания. Главной проблемой, связанной с применением стоимостных моде­лей, является трудность оценки потерь в единицу времени, обусловленных задержками в предоставлении услуг. В частности, это особенно ощутимо, когда услу­ги предоставляются индивидууму, чье поведение может не совпадать с интересами функционирования системы обслуживания (см. раздел 17.9).

Уровень обслуживания

Рис. 17.1. Стоимостная модель системы обслуживания УПРАЖНЕНИЯ 17.1

1. Предположим, что дальнейший анализ работы ресторана быстрого питания привел к следующим дополнительным данным.

Число кассиров 1 2 3 4 5 6 7

Простой (%) 0 8 12 18 29 36 42

a) Какова эффективность обслуживания (выраженная в процентах времени, когда служащие заняты работой), если число кассиров равно пяти?

b) Управляющий желает поддерживать одновременно среднее время ожида­ния на уровне примерно трех минут и эффективность использования пер­сонала на уровне 90 %. Может ли он достичь этого? Приведите надлежа­щее объяснение.

2. Металлообрабатывающая мастерская покупает перфоратор многоцелевого назначения. Подходящими являются модели А и В, эксплуатационные за­траты при их использовании равны 18 и 25 долл. в час соответственно. Пер­форатор модели А работает медленнее, чем перфоратор модели В. Анализ систем обслуживания с такими устройствами показывает, что в случае ис­пользования модели А средняя длина очереди работ, ожидающих обслу­живания, равна четырем, что на 30 % выше аналогичного показателя при

17.2. Основные компоненты моделей массового обслуживания

использовании модели В. Задержка в выполнении работы приводит к потере прибыли, которая оценивается в 10 долл. за час ожидания в очереди. Какую модель перфоратора следует приобрести мастерской?

17.2. ОСНОВНЫЕ КОМПОНЕНТЫ МОДЕЛЕЙ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ

Основными элементами модели массового обслуживания являются клиент (заявка или требование на обслуживание либо просто "объект обслуживания") и сер­вис (обслуживающее устройство¹, средства обслуживания и т.п.). Клиенты поступают в систему обслуживания из источника. Поступив в сервис, они могут сразу же по­пасть на обслуживание или ожидать в очереди, если сервис занят. После завершения процедуры обслуживания сервис автоматически "выбирает" из очереди (если она имеется) одного из клиентов с тем, чтобы приступить к его обслуживанию. Если же очередь отсутствует, то сервис становится незанятым до прибытия нового клиента.

Поступление клиентов в систему обслуживания характеризуется интервалом между их последовательными поступлениями, а обслуживание — временем об­служивания клиента. В общем случае эти параметры могут быть и случайными, как, например, в работе почтового отделения, и детерминированными, как, на­пример, прибытие на собеседование кандидатов на вакантную должность.

В анализе систем обслуживания определенную роль играет длина очереди, ко­торая может быть конечной, как в буферной зоне между двумя последовательными обслуживающими устройствами, и бесконечной, как у обслуживающих операторов почтовых отделений.

Важным фактором при анализе систем обслуживания является дисциплина очереди (или принцип построения очереди), определяющая порядок, в соответст­вии с которым выбираются клиенты из очереди для обслуживания. Наиболее рас­пространенный принцип построения очереди основан на правиле "первым при­шел — первым обслуживаешься" (это правило часто обозначается аббревиатурой FIFO — от английского First-In-First-Out, т.е. "первым вошел — первым вышел"). Среди других правил, определяющих принципы построения очередей, укажем правило "последним пришел — первым обслуживаешься" (обычно обозначается как LIFO — от английского Last-In-First-Out, т.е. "последним вошел — первым вышел") и дисциплину очереди, определяемую случайным правилом отбора кли­ентов (иногда обозначается как SIRO — от английского Service-In-Random-Out, т.е. "обслуживание по случайному принципу"). Кроме того, клиенты могут выбирать­ся из очереди в соответствии с заданным приоритетом. Например, в производст­венном цехе срочные работы выполняются раньше обычных.

При анализе систем с очередями важным фактором является также поведение индивидуума, нуждающегося в обслуживании. Такие индивидуумы, выступающие в роли клиентов, при наличии параллельного обслуживания могут перейти из од­ной очереди в другую в надежде сократить продолжительность своего вынужденно­го ожидания. Они могут также отказаться от ожидания в очереди, так как люди обычно не переносят длительного бездействия, или покинуть очередь, простояв в ней какое-то время и придя к выводу, что и так уж слишком много времени потеряно.

¹ Очень часто, особенно в системах с одним сервисом, понятия "обслуживающее устрой­ство" и "обслуживающая система" являются синонимами. — Прим. перев.

Глава 17. Системы массового обслуживания

Структура обслуживающей системы может включать один сервис или несколь­ко таких средств обслуживания, работающих параллельно (например, работа не­скольких клерков почтового отделения). Кроме того, сервисы могут быть располо­жены последовательно (например, обслуживание представляет собой комплекс работ, которые выполняются последовательно на различных станках).

Источник, генерирующий "клиентов", подлежащих обслуживанию, может иметь конечную или бесконечную мощность. Источник конечной мощности огра­ничивает число клиентов, поступающих на обслуживание (например, в цехе, рас­полагающем N станками, суммарное количество потенциальных заявок на их ре­монт не превышает TV). Наоборот, источник бесконечной мощности всегда имеет клиентов в "изобилии" (например, звонки, поступающие на телефонную станцию).

Можно построить множество моделей систем массового обслуживания, варьи­руя перечисленные выше операционные характеристики систем. В этой главе рас­сматривается ряд таких моделей.

УПРАЖНЕНИЯ 17.2

1. В каждой из следующих ситуаций определите клиент и сервис (средство об­служивания).

a) Самолеты, прибывающие в аэропорт.

b) Стоянка такси.

c) Обрабатывающие инструменты в цехе механической обработки.

d) Письма, обрабатываемые в почтовом отделении.

e) Регистрация на учебу в университете.

f) Судебные дела судьи.

g) Процесс контроля в супермаркете.

h) Обслуживание площадки, отведенной под автостоянку.

2. В каждой ситуации, описанной в предыдущем упражнении, определите сле­дующее: а) мощность источника "клиентов" (конечная или бесконечная),

б) характер поступающих "клиентов" (индивидуальные или групповые),

в) тип интервалов времени между последовательными поступлениями заявок (случайный или детерминированный), г) тип времени обслуживания, д) вме­стимость очереди (конечная или бесконечная) и е) дисциплину очереди.

3. Проанализируйте описанные ниже ситуации и опишите их с помощью моде­лей массового обслуживания. В каждом случае определите "клиентов", сер­висы, дисциплину очереди, время обслуживания, максимальную длину оче­реди, а также источник "клиентов".

a) В мастерскую поступают заказы на выполнение работ. При их приемке диспетчер указывает, является заказ срочным или обычным. Для выпол­нения некоторых заказов требуется использовать один из нескольких одинаковых станков, которыми располагает мастерская. Остальные зака­зы выполняются на двухэтапной производственной линии; их в мастер­ской имеется две. В каждой из двух групп оборудования мастерской один станок предназначается для выполнения срочных работ.

b) Заявки, поступающие на некоторое обслуживающее устройство, выпол­няются в порядке их поступления. Выполненные заказы до момента их отправки клиентам складируются в специальном помещении зоны гото­вой продукции, которое имеет ограниченную вместимость.

17.3. Экспоненциальное распределение в системах массового обслуживания

с) Режущими инструментами различные станки обеспечиваются из цен­трального инструментального склада. При выходе станка из строя вызы­вается механик из централизованной службы ремонта. Станки, выпол­няющие срочные заказы, всегда имеют преимущество как при получении нового инструмента со склада, так и при выполнении ремонтных работ.

4. Истинны или ложны следующие утверждения?

a) Если у ожидающего обслуживания клиента не хватает терпения, то он может отказаться от дальнейшего пребывания в системе обслуживания.

b) Если продолжительное время ожидания неприемлемо, поступивший кли­ент может отказаться от обслуживания.

c) Переход клиента из одной очереди в другую объясняется тем, что он наде­ется за счет этого сократить время ожидания.

5. В каждой ситуации, описанной в упражнении 1, обсудите возможности "клиентов", осуществляющих переход из очереди в очередь и отказы­вающихся от обслуживания по причине длительности ожидания, а также от дальнейшего пребывания в обслуживающей системе из-за медленного обслуживания.

17.3. ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ В СИСТЕМАХ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ

В большинстве систем массового обслуживания поступление клиентов происхо­дит случайным образом. Это означает, что наступление события (например, посту­пление клиента или завершение обслуживания) не зависит от времени, прошедше­го с момента наступления предыдущего события.

Время между последовательными поступлениями клиентов и время их обслу­живания, будучи случайными, при моделировании систем массового обслужива­ния количественно описываются экспоненциальным распределением, плотность вероятности которого имеет вид

/(О = Xe^xt, t > о,

где M{i) = 1/Я (подробнее см. раздел 12.4.3). То, что экспоненциальное распределе­ние является совершенно случайным, иллюстрируется следующим примером. Ес­ли сейчас 8:20 и некое событие имело место в 8:02, то в соответствии с экспоненци­альным законом распределения вероятность того, что следующее аналогичное событие произойдет в 8:29, является функцией лишь интервала времени от 8:20 до 8:29 и не зависит от интервала времени, прошедшего с момента наступления по­следнего события (от 8:02 до 8:20). Данное свойство экспоненциального распреде­ления обычно называют отсутствием последействия или отсутствием памяти.

Пусть время t наступления какого-либо события распределено по экспоненци­альному закону с функцией плотности f(t). Если S — время, прошедшее с момента наступления предыдущего события, то свойство отсутствия последействия выра­жается соотношением

P{t>T + S\t>S)=P{t>T). Для доказательства этого равенства заметим, что

P{t >Y} = l-P{t<Y} = e-*^x.

Глава 17. Системы массового обслуживания

Следовательно,

P{t>T + S\t>S} =

P{t>T + S,t>S} _ P{t>T + S} P{t>S} P{t>s}

Пример 17.3.1

При обслуживании сложного агрегата всегда существует запасной блок для немед­ленной замены в случае поломки. Время выхода из строя агрегата (или его запасно­го блока) является случайной величиной, распределенной по экспоненциальному закону, и в среднем происходит каждые 40 минут. Оператор, обслуживающий аг­регат, утверждает, что агрегат "имеет привычку" выходить из строя каждый вечер около 20:30. Проанализируем утверждение оператора.

Средняя интенсивность отказов агрегата равна Я= 60/40 = 1,5 отказа в час. Следо­вательно, плотность экспоненциального распределения времени отказа имеет вид

Что касается заявления оператора, то и без вычислений видно, что оно не может соот­ветствовать действительности, так как не согласуется с тем, что время между отказа­ми агрегата распределено по экспоненциальному закону и, следовательно, является случайным. Для подтверждения или опровержения заявления оператора нельзя ис­пользовать вероятность того, что отказ будет происходить в 20:30, так как вероят­ность такого события зависит от времени дня (относительно 20:30), когда зта вероят­ность вычисляется. Например, если вычисления выполняются в 20:20, то вероятность того, что утверждение оператора окажется справедливым этим вечером, равна

т.е. является очень малой. Если вычисления выполняются в 19:00, то вероятность того, что отказ будет иметь место в 20:30, возрастает примерно до 0,9 (проверьте!). Эти два крайних значения вероятности показывают, что достоверность утвержде­ния оператора нельзя проанализировать на основе полученных вероятностей; в данной ситуации мы должны полагаться только на характеристики экспоненци­ального распределения (точнее, на его свойство отсутствия последействия).

1. Объясните связь между интенсивностью поступления заявок на обслужива­ние Я и средним временем между последовательными их поступлениями. В каких единицах измеряется каждая из этих величин?

2. В каждом из следующих случаев определите среднюю интенсивность (в час) поступлений заявок на обслуживание к и среднее время между их последова­тельными поступлениями.

a) Каждые 10 минут происходит одно поступление.

b) Каждые 6 минут происходит два поступления.

c) Число поступлений за 30 минут равно 10.

d) Средний интервал между последовательными поступлениями равен 0,5 часа.

УПРАЖНЕНИЯ 17.3

17.3. Экспоненциальное распределение в системах массового обслуживания

3. В каждом из следующих случаев определите среднюю (в час) интенсивность обслуживания // и среднее время обслуживания.

a) Каждые 12 минут выполняется одно обслуживание.

b) Каждые 15 минут две обслуженные заявки покидают систему.

c) Число обслуженных клиентов за 30 минут равно 5.

d) Среднее время обслуживания равно 0,3 часа.

4. В примере 17.3.1 определите следующие показатели.

a) Среднее число отказов за неделю, если система обслуживания функцио­нирует 7 дней в неделю по 24 часа в день.

b) Вероятность по крайней мере одного отказа за два часа.

c) Вероятность того, что следующий отказ не произойдет на протяжении трех часов.

d) Если после последнего отказа на протяжении трех часов других отказов не было, то какова вероятность того, что время между последовательными отказами системы равно по крайней мере 4 часа?

5. Время между последовательными поступлениями клиентов в Управление департамента государственных сборов распределено по экспоненциальному закону со средним значением 0,05 часа. Управление начинает работу в 8:00.

a) Определите плотность вероятности экспоненциального распределения, опи­сывающего время между последовательными поступлениями клиентов.

b) Определите вероятность того, что до 8:15 в управлении клиентов не будет.

c) Сейчас 8:35. Последний клиент прибыл в управление в 8:26. Какова веро­ятность того, что следующий клиент прибудет до 8:38? Какова вероят­ность того, что следующего клиента не будет до 8:40?

d) Чему равно среднее число посетителей, которые прибудут в управление от 8:10 до 8:45?

6. Пусть время между отказами механизма распределено по экспоненциально­му закону со средним 6 часов. Если механизм работал безотказно на протя­жении последних трех часов, то какова вероятность того, что не будет отказа на протяжении следующего часа? Найдите также вероятность того, что на протяжении следующего получаса произойдет отказ.

7. Время между последовательными поступлениями клиентов в игротеку распре­делено по экспоненциальному закону с математическим ожиданием 10 минут.

a) Какова интенсивность прихода клиентов в час?

b) Какова вероятность того, что на протяжении следующих 15 минут в игро­теку не придет ни один клиент?

c) Какова вероятность того, что на протяжении следующих 20 минут в игро­теку придет по крайней мере один клиент?

8. Помогите управляющему нового ресторана быстрого питания описать количе­ственно процесс поступления посетителей, оценивая долю интервалов времени между их приходами, которые будут а) меньше двух минут, б) больше трех ми­нут и в) от двух до трех минут. Интенсивность поступления посетителей в рес­тораны подобного типа равна 35 клиентов в час. Время между приходами по­следовательных посетителей распределено по экспоненциальному закону.

Глава 17. Системы массового обслуживания

9. Официанты О, и 0₂ ресторана быстрого питания в ожидании посетителей за­няты следующей игрой: если в течение одной минуты в ресторан не прибудет ни один посетитель, О, платит 2 цента 0₂, в противном случае 2 цента от 0₂ по­лучает О,. Требуется вычислить средний выигрыш официанта О_х за восьмича­совой период. Время между последовательными прибытиями посетителей рас­пределено по экспоненциальному закону со средним значением 1,5 мин.

10. Пусть в предыдущей ситуации (упражнение 9) правила игры таковы, что официант О, платит 2 цента 0₂, если следующий посетитель прибывает через 1,5 мин. после предыдущего, а официант 0₂ платит такую же сумму О,, если очередной промежуток между последовательными прибытиями посетителей не превышает одной минуты. Если последовательные прибытия посетителей происходят в пределах от 1 до 1,5 мин., игра заканчивается вничью. Требует­ся вычислить средний выигрыш официанта О_г за восьмичасовой период.

11. Предположим, что в ситуации из упражнения 9 официант 0₂ платит 2 цента О,, если следующий посетитель прибывает после предыдущего в пределах 1 мин., и 3 цента, если это происходит в пределах от 1 до 1,5 мин. Официант 0₂ получает 5 центов от О,, если интервал между прибытиями следующего и предыдущего посетителей находится в пределах от 1,5 до 2 мин., и 6 цен­тов, если это время больше 2 мин. Требуется вычислить средний выигрыш официанта 0₂ за восьмичасовой период.

12. Посетитель ресторана быстрого питания, который приходит в пределах че­тырехминутного интервала после предыдущего посетителя, обслуживается без очереди. Если же время между последовательными приходами посетите­лей составляет от 4 до 5 мин., время ожидания будет около 1 мин. Если же время между последовательными приходами посетителей больше 5 мин., время ожидания составляет около 2 мин. Время между последовательными приходами посетителей является случайной величиной, распределенной по экспоненциальному закону со средним значением 6 мин.

a) Определите вероятность того, что прибывающий посетитель не будет ожидать в очереди.

b) Определите среднее время ожидания для прибывающего посетителя.

13. Известно, что время между отказами в работе холодильника является случай­ной величиной, распределенной по экспоненциальному закону со средним зна­чением 9000 часов (примерно один год эксплуатации), и производящая компа­ния выдает на холодильник годичную гарантию. Какова вероятность того, что холодильник потребует ремонта во время гарантийного срока?

14. В университетском городке функционируют две автобусные линии: красная и зеленая. Красная обслуживает северную часть городка, зеленая — южную. Автобусные линии связаны пересадочной станцией. Время между прибытиями автобусов зеленой линии на пересадочную станцию является случайной вели­чиной, распределенной по экспоненциальному закону со средним значением 10 мин. Аналогичный показатель для автобусов красной линии равен 7 мин.

a) Найдите распределение времени ожидания студента, который прибывает по красной линии для пересадки на зеленую.

b) Найдите распределение времени ожидания студента, который прибывает по зеленой линии для пересадки на красную.

15. Докажите, что математическое ожидание и стандартное отклонение для экс­поненциального распределения совпадают.

17.4. Модели рождения и гибели.

17.4. МОДЕЛИ РОЖДЕНИЯ И ГИБЕЛИ (СВЯЗЬ МЕЖДУ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫМ И ПУАССОНОВСКИМ РАСПРЕДЕЛЕНИЯМИ)

В данном разделе рассматриваются две модели обслуживающих систем: в пер­вой представлены только поступления клиентов (модель чистого рождения), во второй — только выход клиентов из системы (модель чистой гибели). Примером модели чистого рождения является процесс оформления свидетельств о рождении детей. В качестве модели чистой гибели может служить случайное изъятие храня­щихся на складе запасов.

Данные модели строятся на основе экспоненциального распределения, которое задает интервал времени между рождениями или гибелью. Побочным продуктом этих построений является демонстрация тесной связи между экспоненциальным распределением и распределением Пуассона в том смысле, что одно из них автома­тически определяет другое.

17.4.1. Модель чистого рождения

Пусть p₀(t) — вероятность отсутствия событий (поступления клиентов) за пери­од времени t. При условии, что длина интервала времени Т между поступлениями клиентов описывается экспоненциальным распределением с интенсивностью Я, бу­дем иметь

p₀(t) = Р{интервал времени Т > t} = 1 - Р{интервал времени Т < t} =

Экспоненциальное распределение базируется на предположении, что на достаточно малом временном интервале h > 0 может наступить не более одного события (поступления клиента). Следовательно, при h -> О

Этот результат показывает, что вероятность поступления клиента на протяжении интервала h прямо пропорциональна h с коэффициентом пропорциональности, равным интенсивности поступлений Я.

Чтобы получить распределение числа клиентов, поступивших на протяже­нии некоторого интервала времени, обозначим через p_n(t) вероятность поступ­ления п клиентов на протяжении времени t. При достаточно малом h > 0 имеем следующее.

Из первого уравнения следует, что поступление п клиентов на протяжении времени t + h возможно в двух случаях: если имеется п поступлений на протяжении време­ни t и нет поступлений за время h, или существует п - 1 поступлений за время t и одно поступление за время h. Любые другие комбинации невозможны вследствие того, что на протяжении малого периода h возможно наступление только одного со­бытия. В соответствии с условием независимости событий к правой части уравнения

р₁(Л)=1-р₀(Л)«ЯЛ.

p_n(t + h)- Щ +р_п_^)ЛН, п>0, p₀(t + h)*p₀(tXl-Mi), п-0.

Глава 17. Системы массового обслуживания

применим закон умножения вероятностей. Во втором уравнении отсутствие посту­плений клиентов на протяжении интервала t + h возможно лишь тогда, когда нет поступлений клиентов за время Л.

Перегруппировывая члены и переходя к пределу при h —► 0, получаем следующее.

^Л0-й8^л(<+*]"^л(/)=^(0^--.(0. «>°.

где (/) — производная по t функции pjt).

Решение приведенных выше разностно-дифференциальных уравнений имеет следующий вид:

_Л(/) = ^_, «= 0,1,2,...

В данном случае мы получили дискретную плотность вероятности распределения Пуассона с математическим ожиданием М{п \t} = М поступлений за время t. Дис­персия распределения Пуассона также равна At.

Полученный результат означает, что всякий раз, когда временные интервалы между моментами последовательных поступлений заявок распределены по экпо-ненциальному закону с математическим ожиданием 1/Я, число поступлений зая­вок в интервале, равном t единиц времени, характеризуется распределением Пуас­сона с математическим ожиданием Xt. Верным является и обратное утверждение.