Silver-Meal Heuristic Inventory Model 1 страница

Input data:

i Number of periods, N =		:.^Maximum 14 periods
Period t=
Setup cost, Kt =
Holding cost. ht =
Demand, Dt =
Solution complete	Model calculations:			Optimum solution (Total cost"	$122 00)-
1 Start Iteration at Period	Period		TC
				0 00	20 00
				1.00	35 00
				2 00	49.00
				3 00	109.00
				6 00|	187.00
	в			7 00	362.00		Order 32 m period 1 for periods 1 to 3, cost - S49.00
			20 0.00	18.00
				3.00	57.00
	6 1			4.00*	157.00		Order 20 in period 4 for periods 4 to 4, cost - $18.00
S			13 0.00	~ 5.00		_
			38 1.00	30.00		Ordsr 13 in period 5 for periods 5 to 5, cost - SS.00
						__	____L_	i
e				0.00	50.00		Ordsr 25 in peiiod 61or periods 6to 6, cost - S50.00

Рис. 11.12. Решение в Excel задачи из примера 11.3.4

Глава 11. Детерминированные модели управления запасами

с четвертого периода. Поэтому, пропустив пустую строку от ранее вычисленных значений, вводим значение 4 в ячейку F18. Это действие инициирует вычисления второй итерации, откуда находим, что локальному минимуму функции TCU соот­ветствует t = 4 (четвертый период) со значением TCU = 18,00. Поэтому третья ите­рация должна начаться с пятого периода, для чего в ячейку F22 вводим значение 5. На третьей итерации локальному минимуму функции TCU соответствует t = 5 (пятый период). Следовательно, для начала последней итерации надо ввести чис­ло 6 в ячейку F25. При выполнении каждой итерации рабочий лист автоматически отображает оптимальное решение, соответствующее этой итерации, и величину общих затрат, как показано на рис. 11.12 в столбце М.

УПРАЖНЕНИЯ 11.3.5

1. Спрос на удилища достигает своего минимума в декабре, а максимума — в ап­реле. Компания, которая изготовляет удилища, оценивает декабрьский спрос на них в 50 единиц. Затем спрос увеличивается на 10 удилищ в месяц, достигая максимального значения 90 единиц в апреле. После этого объем спроса умень­шается на 5 удилищ в месяц. Стоимость размещения заказа на изготовление партии удилищ равна 250 долл. на протяжении всех месяцев, за исключени­ем февраля, марта и апреля, когда она составляет 300 долл. Стоимость про­изводства одного удилища является примерно постоянной на протяжении всего года и составляет 15 долл., а стоимость хранения одного удилища равна 1 долл. в месяц. Требуется составить план производства удилищ.

2. На протяжении последующих 12 месяцев небольшое издательство переиздает роман в целях удовлетворения спроса на него: 100, 120, 50, 70, 90, 105, 115, 95, 80, 85, 100 и 110 экземпляров. Стоимость размещения заказа на переизда­ние равна 200 долл., а стоимость хранения книги на протяжении одного ме­сяца — 1,20 долл. Определите план переиздания книги издательством.

ЛИТЕРАТУРА

1. Silver Е., Руке D. and Peterson R. Inventory Management and Production Plan­ning and Scheduling, 3rd ed., Wiley, New York, 1998.

2. Tersine R. Principles of Inventory and Materials Management, 3rd ed., North Holland, New York, 1988.

3. Waters C. Inventory Control and Management, Wiley, New York, 1992.

Литература, добавленная при переводе

1. Кофман А. Методы и модели исследования операций. — М.: Мир, 1966.

2. Мур Дж., Уэдерфорд Л. Экономическое моделирование в Microsoft Excel. — М.: Издательский дом "Вильяме", 2004.

КОМПЛЕКСНЫЕ ЗАДАЧИ

11.1. Распределительный центр универмага специализируется на ежедневной покупке и хранении предметов торговли, вышедших из моды. Постоянный спрос на такие предметы поступает от многочисленных торговых точек

Комплексные задачи

универмага. В прошлом решения относительно того, когда и сколько товара заказывать, перекладывались на отдел поставки, главная задача которого состояла в том, чтобы приобрести продукцию в достаточно больших объе­мах, дабы гарантировать низкие закупочные цены. Эта стратегия применя­лась без надлежащего рассмотрения фактора хранения продукции. Дейст­вительно, решения относительно того, сколько товара закупать, основывались на годовой стоимости спроса на товар на уровне распредели­тельного центра. Например, если единица продукции приобретается по цене 25 долл. и в год используется 10 ООО единиц, то годовая стоимость спроса на этот товар составляет 250 ООО долл. Отдел поставки руководствовался основ­ным принципом: чем выше годовая стоимость спроса на товар, тем больше его следует запасать в распределительном центре. Этот принцип затем выражал­ся в объеме запаса продукции, который должен храниться в распределитель­ном центре в период между пополнениями. Например, отдел поставки мог за­купать заранее определенное количество продукции каждые три месяца.

Чтобы улучшить стратегию управления запасами, руководство универмага ре­шило прибегнуть к услугам консультанта по исследованию операций. Изучив ситуацию, он пришел к выводу, что интенсивность потребления большинства видов продукции в распределительном центре с практической точки зрения яв­ляется постоянной и что проводится политика отсутствия дефицита. Дальней­шее изучение показало, что стоимость хранения всех рассматриваемых видов продукции составляет один и тот же постоянный процент от закупочной цены. Кроме того, стоимость размещения заказа для всех рассматриваемых видов продукции является одинаковой. С помощью этой информации консультант смог построить для каждого вида продукции соответствующую кривую, ко­торая устанавливает связь годовой стоимости спроса на товар со средним вре­менем между пополнениями товара. Эта кривая была затем использована для того, чтобы выяснить, какой продукции в настоящее время имеется излиш­ний запас, а какой — недостаточный. Как консультант сделал это?

11.2. Компания производит конечный продукт с использованием единственного комплектующего блока, который она закупает у внешнего поставщика. Спрос на конечный продукт является постоянным и равен примерно 20 из­делиям в неделю. Для изготовления каждой единицы конечного продукта требуется два комплектующих блока. Имеется также следующая информа­ция для рассматриваемой задачи управления запасами.

	Комплектующие	Продукция
Стоимость размещения заказа (долл.)
Стоимость хранения единицы в неделю (долл.)
Срок изготовления (недели)

Неудовлетворенный спрос на готовую продукцию является задолженностью компании и приносит ей потери в 8 долл. в неделю за единицу спроса. Раз­работайте стратегию как размещения заказов на комплектующие, так и производства конечной продукции.

11.3. Компания производит сезонную продукцию, спрос на которую ощутимо ме­няется от месяца к месяцу. Данные об объемах спроса (в количестве единиц продукции) за последние пять лет приведены в следующей таблице.

Глава 11. Детерминированные модели управления запасами

Месяц			Год
Январь
Февраль
Март
Апрель
Май
Июнь
Июль
Август
Сентябрь
Октябрь
Ноябрь
Декабрь

Принимая во внимание колебания спроса на продукцию, менеджер по управлению запасами избрал стратегию, в соответствии с которой заказы на продукцию размещаются поквартально: 1 января, 1 апреля, 1 июля и 1 октября. При этом объем заказа покрывает объем спроса соответствую­щего квартала. Срок между размещением заказа и его получением равен 3 месяца. Оценки объема спроса на текущий год принимаются равными со­ответствующим показателям пятого года плюс дополнительно 10 % в каче­стве безопасности.

Новый сотрудник верит в то, что можно достичь более эффективной страте­гии управления запасами, используя экономичный объем заказа, основан­ный на среднемесячном объеме спроса на продукцию за год. Колебания спроса могут быть сглажены путем размещения заказов, которые по объему примерно равны экономичному объему партии и покрывают спрос несколь­ких последовательных месяцев. В отличие от менеджера, новый сотрудник считает, что оценки объема спроса на следующий год должны основываться на усредненных показателях для четвертого и пятого годов.

Во всех вычислениях, связанных с хранением продукции, компания счита­ет, что затраты на хранение единицы продукции на протяжении месяца равны 0,50 долл. Стоимость размещения нового заказа равна 55 долл.

Предложите стратегию управления запасами для компании.

ГЛАВА 12

ОСНОВЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Все методы решения задач исследования операций, изложенные в предыдущих главах, предполагают, что необходимые для их реализации данные известны точно. Однако это предположение выполняется не во всех случаях. Например, потреб­ность в электроэнергии в летние месяцы может меняться от года к году в зависимости от погодных условий. В таких случаях представление потребности в виде постоян­ной детерминированной величины неприемлемо. Вместо этого можно использовать данные наблюдений или статистические источники для описания потребности с помощью вероятностного распределения.

12.1. ЗАКОНЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Понятие вероятности ассоциируется с проведением эксперимента, результаты которого, именуемые исходами, изменяются случайным образом. Множество всех возможных исходов эксперимента называется пространством событий, а любое подмножество этого пространства — событием. Например, в эксперименте с броса­нием игральной шестигранной кости исход соответствует грани кости, т.е. может принимать значение от 1 до 6. Следовательно, пространство событий представляет собой множество {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Примером события в этом эксперименте может, например, быть выпадение четного числа (2, 4 или 6).

Эксперимент может быть связан также с непрерывным пространством событий. Например, время между отказами некоторого электронного устройства может при­нимать любое неотрицательное значение.

Если в эксперименте, состоящем из п опытов, событие Е имеет место т раз, то вероятность Р{Е) появления события Е математически определяется соотношением

Р{Е] = \im—.

Приведенное определение означает, что если эксперимент повторяется бесконечное число раз (п -» оо), искомая вероятность представляется граничным значением дро­би т/п. Это определение можно проверить, проведя эксперимент с бросанием моне­ты, исходами которого являются выпадение герба (Г) и решетки (Р). Чем большее число раз бросается монета (проводится эксперимент), тем ближе оценки Р{Р} и Р{Г} к теоретическому значению 0,5.

Глава 12. Основы теории вероятностей

По определению

0<Р{Е}< 1,

где вероятность Р{Е} равна 0, если событие Е невозможно, и 1, если оно досто­верно. Например, в эксперименте с шестигранной игральной костью выпадение семерки является невозможным событием, тогда как любое целое число от 1 до 6 — событие достоверное.

1. В ходе анализа, проведенного в средних школах штата Арканзас в целях изучения зависимости между успеваемостью по математике и поступлением в технические колледжи, получены следующие данные: из 1000 опрошенных выпускников 400 изучали математику. Из тех, кто изучал математику, лишь 150 были приняты в технические колледжи.

a) Определите вероятность того, что студент, изучавший математику, 1) по­ступит в технический колледж, 2) не поступит в технический колледж.

b) Определите вероятность того, что студент, не изучавший математику, не поступит в технический колледж.

2. Рассмотрим случайную совокупность из п человек. Определите наименьшее п такое, что более вероятным будет событие, состоящее в совпадении дней рождения нескольких человек (т.е. более вероятным по сравнению с событи­ем, что у всех индивидуумов в данной совокупности даты рождения различ­ны). (Совет. Предположите, что нет високосных годов и все дни года с равной вероятностью могут быть днем рождения каждого человека.)

12.1.1. Закон сложения вероятностей

Для данных двух событий Е и F запись Е + F обозначает их объединение, a EF — пересечение. События Е и F называются несовместными (взаимно исклю­чающими), если они не пересекаются, т.е. наступление одного события исключает возможность реализации другого. При принятых определениях закон сложения вероятностей определяется соотношением

Вероятность того, что события Е и F произойдут одновременно, обозначается как P{EF}. Если эти события независимы, тогда

P{EF)=P{E)P{F}.

Пример 12.1.1

Рассмотрим эксперимент с игральной костью. В данном случае пространство собы­тий представляет собой множество {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Для симметричной кости имеем

УПРАЖНЕНИЯ 12.1.1

Р{Е} + P{F}, если Е и F несовместные,

Р{Е}+ P{F)- P{EF) в противном случае.

Р{1}=Р{2} = Я{3} = Я{4} = Р{5} = Я{6} = 1.

Определим события

£ = {1,2, 3 или 4}, F = {3,4 или 5}.

12.1. Законы теории вероятностей 509

Исходы 3 и 4 являются общими для событий Е и F. Следовательно, EF = = {3 или 4}. Имеем

/»{£} = Р{1} ₊ Р{2} + /'{3} _{+ /}'{4} = 1 ₊ 1 ₊ 1 ₊ 1 = |.

P{F} = P{3} ₊ P{4} ₊ P{5} = i ₊ I ₊ I = i

P{EF} = P{3} ₊ P{A} = y_r¹-. Отсюда следует, что

Р{Е + F} = Р{Е} + P{F} - P{EF) = I + 1 - I = |.

Чисто интуитивно этот результат понятен, так как событие (£ + F) = {1, 2, 3, 4, 5}, очевидно, имеет вероятность 5/6.

УПРАЖНЕНИЯ 12.1.2

1. Игральная кость бросается дважды. Обозначив через Е и F исходы независи­мых бросаний, вычислите вероятности следующих событий.

a) Сумма £ и F равна 11.

b) СуммаЕnFчетная.

c) Сумма EnF нечетная и больше 3.

d) Е меньше 6 и F нечетно и больше 1.

e) Е больше 2 и F меньше 4.

f) Е равно 4 и сумма Е и F нечетная.

2. Бросаются независимо две игральные кости и записываются выпавшие числа.

a) Какова вероятность того, что оба числа являются четными?

b) Какова вероятность того, что сумма двух чисел равна 10?

c) Какова вероятность того, что два числа отличаются по меньшей мере на 3?

3. Можно бросать симметричную монету до 7 раз и выиграть 100 долл., если появится по крайней мере три герба до появления решетки. Каковы шансы выиграть 100 долл.?

4. Анна, Джим, Джон и Лиза участвуют в теннисном турнире. Вероятность то­го, что Анна победит Джима, в два раза выше вероятности обратного резуль­тата, а мастерство Джима оценивается на том же уровне, что и мастерство Джона. В прошлом Лиза выигрывала у Джона примерно один раз из трех.

a) Какова вероятность того, что Джим выиграет турнир?

b) Какова вероятность того, что турнир выиграет женщина?

c) Какова вероятность того, что турнир женщина не выиграет?

Глава 12. Основы теории вероятностей

12.1.2. Условные вероятности

Для данных двух событий Е nF условная вероятность события Е при условии, что наступило событие F, обозначается как Р{ Е \ F} и определяется по формуле

^{P[EIF} =} ^P§} ' ^P[F}>°-

Если событие Е содержится в событии F (т.е. множество исходов Е является под­множеством множества исходов F), тогда P{EF} = Р{Е}.

Два события Е и F являются независимыми тогда и только тогда, когда выпол­няется равенство Р{ Е \ F} = Р{Е). В этом случае формула условной вероятности сводится к следующему

P{EF}-P{E)P{F).

Пример 12.1.2

Предположим, вы участвуете в игре, в которой другой человек бросает игральную кость. Вы не можете видеть игральную кость, но вам сообщается некоторая инфор­мация об исходах бросания кости. Вам необходимо предсказать возможный исход каждого бросания кости. Определим вероятность того, что исходом будет число 6 при условии, что вам сообщили о том, что исходом бросания кости является четное число.

Пусть Е = {6}; определим F = {2, 4 или 6}. Следовательно,

_Pi_ElF]-llEl-£lE.-iiL-L

^{1 1} ' P{F} P{F} (^) 3'

Заметим, что P{EF} = Р{Е}, так как множество исходов Е является подмножеством множества исходов F.

УПРАЖНЕНИЯ 12.1.3

1. Вернитесь к примеру 12.1.2. Предположим, вам сообщили, что исход броса­ния кости меньше 6.

a) Определите вероятность выпадения четного числа.

b) Определите вероятность выпадения нечетного числа, превышающего 1.

2. Докажите, что если выполняется равенство Р{А \ В] = Р{А}, то события А и В независимы.

3. Теорема Байеса.¹ Покажите, что для двух заданных событий А и В имеет ме­сто соотношение

Р{В\А}Р{А}

Р{А\В}=-, _л ^{1 1} Р{В}

гдеР{В}>0.

¹ Более детально теорема Байеса представлена в разделе 14.2.2.

12.2. Случайные величины и распределения вероятностей

4. Завод А поставляет в магазин 75 % продаваемых аккумуляторов, а завод В— 25%. Процент бракованных аккумуляторов равен 1 и 2% соответст­венно для заводов А и В. Клиент купил в магазине аккумулятор.

a) Какова вероятность того, что аккумулятор бракованный?

b) Если купленный аккумулятор является бракованным, какова вероят­ность того, что он изготовлен на заводе А? (Совет. Используйте теорему Байеса из предыдущего упражнения.)

5. Статистика свидетельствует, что 70 % мужчин болеют какой-нибудь формой рака предстательной железы. Американский тест PSA в 90 % случаев дает положительный результат для пораженных болезнью мужчин и в 10 % — для здоровых. Какова вероятность того, что мужчина, имеющий положи­тельный результат теста, имеет рак предстательной железы?

12.2. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Исходы эксперимента (испытания) обычно либо выражаются в числовом виде, либо им можно поставить в соответствие некоторые действительные числа. Напри­мер, исходы бросания игральной кости выражаются в виде целых чисел от 1 до 6. А проверка на брак некоторого изделия дает два исхода: некачественное и качест­венное. В этом случае можно использовать число 0 для представления исхода "некачественный" и 1 - для исхода "качественный". Численное представление ис­ходов эксперимента — это то, что именуется случайной величиной.²

Случайная величина х может быть дискретной или непрерывной. Например, слу­чайная величина, связанная с бросанием игральной кости, является дискретной со зна­чениями от 1 до 6, тогда как время между поступлениями заявок в систему обслужива­ния выражается непрерывной случайной величиной с положительными значениями.

Как непрерывная, так и дискретная случайная величина имеют плотность рас­пределения вероятностей, которая часто именуется просто плотностью вероятно­сти и обозначается как f(x) (для непрерывной случайной величины) или р(х) (для дискретной случайной величины). Плотности вероятностей должны удовлетворять условиям, перечисленным в следующей таблице.

Характеристики плотности	Случайная величина х
Дискретная	Непрерывная
Область определения	х = а, а+ 1 b	а< х< Ь
Условия неотрицательности	р(х) > 0,	f(x) > 0,
и нормировки		)f{x)dx=l
		«

Условие неотрицательности для непрерывных и дискретных распределений оз­начает, что плотность вероятности не может принимать отрицательные значения (в противном случае вероятность некоторых событий могла бы быть отрицательной).

Случайную величину можно считать функцией, отображающей пространство элемен­тарных исходов на пространство действительных чисел. — Прим. ред.

Глава 12. Основы теории вероятностей

Условие нормировки показывает, что сумма вероятностей по всему пространству событий должна быть равна единице.

Самой важной вероятностной характеристикой случайной величины является функция распределения, определяемая следующим образом:

1'{х< Х} =

Р(Х) = ^р(х) для дискретной случайной величины х,

X

F(X)= ^f(x)dx для непрерывной случайной величиных.

Пример 12.2.1

Рассмотрим ситуацию с бросанием игральной кости. Пусть хе {1, 2, 3, 4, 5,6} — случайная величина, представляющая количество выпавших очков. Тогда плотность вероятности и функция распределения вероятности случайной величины х определяются следующим образом.

р(х) = —, х = 1,2.....6,

Р(Х) = —, Х = 1,2.....6.

На рис. 12.1 приведены графики этих двух функций. Плотность вероятности р(х) является равномерной дискретной функцией, так как любые значения случайной величиной принимаются с одинаковыми вероятностями.

J

----Функция

распределения Р(х)

Плотность вероятности р(х)

Рис. 12.1. Функция распределения и плот­ность вероятности дискретной случайной величины

Непрерывный аналог равномерной плотности вероятности можно получить на ос­нове следующего эксперимента. Стрелка длиной I закреплена подвижно на оси в центре круга, радиус которого также равен I. На окружности выбирается точка отсчета, стрелка вращается в направлении часовой стрелки, по окружности изме­ряется расстояние х, пройденное стрелкой от точки отсчета. Такая случайная вели­чина х является непрерывной, принимающей значения из интервала 0 < х < М. Нет никаких оснований считать, что стрелка будет иметь тенденцию останавливаться в некоторой области окружности чаще, чем в других областях. Поэтому все значения

12.2. Случайные величины и распределения вероятностей

х из интервала 0 < х < М могут приниматься с равной вероятностью и распределение х должно быть равномерным.

В данном случае плотность вероятности f(x) случайной величины х определяется следующим образом.

/(*) = —, 0<х<к1.

Функция распределения F(X) случайной величины х вычисляется по формуле

F(X) = P{x<X} = f— dx=—, 0<Х<к1.

₀^J Л/ Til

На рис. 12.2 представлены графики этих двух функций.

-Функция

распределения F(x)

Плотность вероятности fix)

о к1 х

Рис. 12.2. Функция распределения и плотность ве­роятности непрерывной случайной величины

УПРАЖНЕНИЯ 12.2

1. Некоторая величина принимает случайным образом целочисленное значение х из интервала [1, 5]. Плотность вероятности р(х) этой величины прямо про­порциональна значению х с коэффициентом пропорциональности К.

a) Определите плотность вероятности и функцию распределения данной случайной величины, нарисуйте графики полученных функций.

b) Определите вероятность того, что случайная величина примет значение, равное четному числу.

2. Дана следующая функция:

f(_x) = JL_t 10<д:<20.

X'

a) Найдите значение константы k, при котором функция f(x) будет плотно­стью вероятности.

b) Найдите функцию распределения случайной величины х и определите ве­роятность того, что случайная величина х примет значение: а) больше 12, б) между 13 и 15.

3. Дневная потребность в бензине без свинца является равномерно распреде­ленной случайной величиной, изменяющейся в интервале от 750 до 1250

Глава 12. Основы теории вероятностей

галлонов. Бензоцистерна емкостью 1100 галлонов наполняется ежедневно в полночь. Какова вероятность того, что цистерна будет пустой как раз перед заполнением ее бензином?

12.3. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ И МОМЕНТЫ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ

Пусть х — случайная величина, h(x) — некоторая функция от х. Математиче­ским ожиданием случайной функции h(x), которое обозначается как M{h(x)}, на­зывается средняя величина, взвешенная по отношению к плотности вероятности случайной величины х. При заданной плотности вероятности р(х) или f(x) (для дискретной и непрерывной случайных величин соответственно) величина M{h(x)} вычисляется следующим образом:

M{h(x)}­^Л(х)р(х), если х — дискретная случайная величина,

х=а Ь

^h(x)f[x)dx, если х — непрерывная случайная величина.

Пример 12.3.1

В течение первой недели каждого месяца я, как и большинство людей, оплачиваю все свои счета и отвечаю на некоторые письма. С этой целью я обычно покупаю 20 почтовых марок. Число используемых марок является случайной величиной, при­нимающей значения от 10 до 24 с равными вероятностями. Найдем, чему равно среднее число оставшихся марок.