Пример 1. 15

Отношение x Ј y на множестве действительных чисел есть отношение частичного порядка.

Отношение x < y на множестве действительных чисел не является отношением частичного порядка, поскольку не рефлексивно.

Во множестве подмножеств некоторого универсального множества U отношение A Н B есть отношение частичного порядка.

Схема организации подчинения в учреждении есть отношение частичного порядка на множестве должностей.

Отношение на множестве слов, определенное так: "слово w связано отношением r со словом v, если w = v или w появляется в словаре перед словом v" является отношением частичного порядка (лексикографический порядок).

Определение. Отношение частичного порядка на множестве X, для которого любые два элемента сравнимы, т. е. для любых x, y О X x ‚ y или y ‚ x, называется отношением линейного порядка.

Пример 1.15. В примере 1.14 отношение, определенное в пунктах 1 и 5 есть отношение линейного порядка, а отношение, определенное в п. 2, таковым не является.

Пусть на множестве X задано отношение частичного порядка r. Как можно задать отношение частичного порядка на множестве XґX, т. е. как сравнивать пары элементов из множества X? Один из возможных способов состоит в следующем: на множестве XґX определяем отношение P условием <a, b>P<c, d> у arc и brd. Отношение P есть отношение частичного порядка. Оно называется отношением Парето.

Определение. Множество X с заданным на нем частичным (линейным) порядком называется частично (линейно) упорядоченным.

Логика есть анатомия мышления.

Джон Локк