Операции над множествами. Диаграммы Венна

Рассмотрим методы получения новых множеств из уже существующих.

Определение. Объединением множеств A и B называется множество AЗB, все элементы которого являются элементами множества A или B:

AЗB = {x | xОA или xОB}.

Определение. Пересечением множеств A и B называется множество AИB, элементы которого являются элементами обоих множеств A и B:

AИB = { x | xОA и xОB}.

Очевидно, что выполняются включения AИB Н A Н AЗB и AИB Н B Н AЗB.

Определение. Относительным дополнением множества A до множества X называется множество X\A всех тех элементов множества X, которые не принадлежат множеству A:

X\A = {x | xОX и xПA}.

Определение. Симметрической разностью множеств A и B называется множество A+B = (A\B)З(B\A).

Определение. Если все рассматриваемые в ходе данного рассуждения множества являются подмножествами некоторого множества U, то это множество U называется универсальным для данного рассуждения (контекста).

Определение. Абсолютным дополнением множества A называется множество A всех тех элементов x, которые не принадлежат множеству A:

A = U\X.

Заметим, что X\A = XИA.

Для наглядного представления отношений между подмножествами какого-либо универсального множества используются диаграммы Венна. В этом случае множества обозначают областями на плоскости и внутри этих областей условно располагают элементы множества. Часто все множества на диаграмме размещают внутри квадрата, который представляет собой универсальное множество U. Если элемент принадлежит более чем одному множеству, то на диаграмме, области, отвечающие таким множествам, должны перекрываться, чтобы общий элемент мог одновременно находиться в соответствующих областях (рис.1).

A AÈB AÇB

A\B B\A A+B

Рис. 1. Диаграммы Венна

Теорема 1.1. Для любых подмножеств A, B и C универсального множества U выполняются следующие тождества (основные тождества алгебры множеств):

1. AЗB = BЗA (коммутативность З)	1'. AИB = BИA (коммутативность И)
2. AЗ(BЗC) = (AЗB)ЗC (ассоциативность З)	2'. AИ(BИC) = (AИB)ИC (ассоциативность И)
3. AЗ(BИC) = (AЗB)И(AЗC) (дистрибутивность З относительно И)	3'. AИ(BЗC) = (AИB)З(AИC) (дистрибутивность И относительно З)
4. AЗЖ = A	4'. AИU = A
5. AЗA = U	5'. AИA = Ж
6. AЗA =A (закон идемпотентности)	6'. AИA = A (закон идемпотентности)
7. AЗU = U	7'. AИЖ = Ж
8. AЗB = AИB (закон де Моргана)	8'. AИB = AЗB (закон де Моргана)
9. AЗ(AИB) = A (закон поглощения)	9'. AИ (AЗB) = A (закон поглощения)

Докажем тождество 3. Сначала покажем, что AЗ(BИC) Н (AЗB)И(AЗC). Действительно, если xОAЗ(BИC), то xОA или xОBИC. Если xОA, то xОAЗB и xОAЗC. Следовательно, xО(AЗB)И(AЗC). Если xОBИC, то xОB и xОC. Отсюда xОAЗB и xОAЗC, а значит xО(AЗB)И(AЗC). Теперь покажем, что (AЗB)И(AЗC) Н AЗ(BИC). Если xО (AЗB)И(AЗC), то xОAЗB и xОAЗC. Следовательно, xОA или xОB и xОC, т. е. xОBИC. Отсюда xОAЗ(BИC).

Докажем тождество 8. Пусть xÎAÇB. Тогда xÎU и xÏ AÇB. Следовательно, xÏ A и xÏ B. Отсюда xÎA и xÎB, а значит, xÎAÈB. Итак, AÇB Í AÈB. Пусть теперь, xÎAÈB. Тогда xÎA и xÎB. Следовательно, xÎU и xÏ A и xÏ B. Значит, xÏ AÇB, т. е. xÎAÇB. Итак, AÈB Í AÇB.

Остальные тождества доказываются аналогично. Рекомендуется сделать это самостоятельно. Справедливость этих тождеств можно наглядно проиллюстрировать с помощью диаграмм Венна, но это, конечно, не является доказательством. С другой стороны, диаграмму вполне можно использовать, чтобы на частном примере опровергнуть какое-нибудь общее утверждение.

Теорема 1.2. Предложения о произвольных множествах A и B попарно эквивалентны:

1) AНB; 2) AИB = A; 3) AЗB = B.

Докажем, что из первого предложения следует второе. Действительно, так как AИBН A, то достаточно показать, что в этом случае AН AИB. Но если xОA, то xОB, так как AНB, и, следовательно, xОAИB.

Докажем, что из второго предложения следует третье. Так как AИB = A, то AЗB = (AИB)ЗB. По закону поглощения (см. тождество 9) BЗ(AИB) = B. Отсюда, используя закон коммутативности, получаем AЗB = B.

Докажем, что из третьего предложения следует первое. Так как AН AЗB, а по условию третьего предложения AЗB = B, то AНB.