Определение невыгоднейшего положения нагрузки на сооружении. Эквивалентная нагрузка

Треугольную форму имеют почти все линия влияния усилий в стержнях ферм и поэтому вопрос об их расчетном загружении имеет важное значение. На практике внешняя подвижная нагрузка, действующая на металлоконструкции кранов и строительных машин, часто представляет собой систему сосредоточенных грузов. Расстояния между грузами при движении такой системы остается постоянным, т.е. система движется как одно целое. Такая система грузов называется «поездом». Источником такой системы грузов может быть, например, ходовые колеса грузовой тележки крана.

На рисунке 3.12 показана треугольная линия влияния, а также схема движущегося «поезда».

Рисунок 3.12

При любом положении этого поезда его влияние выражается формулой

(3.16)

Для определения максимального значения Z определим производную по «х», где «х» - расстояние одного из грузов от какого-либо неподвижного начала.

Для всех грузов, стоящих слева от вершины

а для грузов, стоящих справа от вершины

До тех пор пока ни один из грузов не стоит над вершиной, производная имеет определенное значение, а следовательно и знак. Например, если груз Р₃ стоит слева от вершины, а груз Р₄ – справа, то

(3.17)

T.е. пока соблюдается это условие, пpoизводная постоянна и может изменить свою величину, а следовательно и знак только при переходе одной из сил одного слагаемого равенства (3.16) в другое.

Скачкообразное изменение производной говорит о том, что функция Z представляет собой ломанную линию. Как известно из курса математического анализа максимальное значение такой функции может быть только в точках ее перелома, т.е. там, где производная (3.16) меняет знак, т.е. при расположении одной из сил над вершиной линии влияния.

Заметим, что это свойство принадлежит но только треугольной линии влияния, но и всем линиям влияния ломанного очертания, т.к. в этом случае правая часть формулы (3.17) будет иметь такой же вид, но количество тангенсов будет равно числу загруженных прямых.

} (3.18)

Будем называть критическим тот груз, при прохождении которого через вершину линий влияния функция Z имеет макси­мум. Как сказано выше этот груз характеризуется тем, что при его прохождении через вершину треугольной линии влияния произ­водная меняет знак. Допустим, что это груз Р₂, тогда

Подставим tgα=c/а; tgβ=c/в и сократим на «с», кроме того обозначим равнодействующие грузов, расположенных слева и справа от критического соответственно через R_лев и R_прав., а критический груз – через Р_кр. Тогда неравенства (1.24) примут общий вид

Эти неравенства служат аналитическим признаком критиче­ского груза. Этот признак является необходимым и достаточным для критического груза и позволяет после немногих попыток отыскать его.

Задача о нахождении критического груза весьма просто решается сразу, без попыток, при помощи следующего графического построения (Рисунок 3.13): отложим от точки В все силы Р₁; Р₂; Р₃; Р₄ в том порядке, в каком они встречаются, если идти от В к А. Соединим точки А и С и из точки Е проведем прямую ЕД, параллельно прямой АС. Тогда точка Д расположится как раз на критическом грузе, так как из подобия треугольников ВЕД и ВАС нетрудно убедиться, что условия (3.13) соблюдаются.

Рисунок 3.13