Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
Изучив данную тему, студент должен знать:
1. Правило произведения.
2. Правило суммы.
3. Факториал и его свойства.
4. Размещения.
5. Размещения с повторениями.
6. Перестановки.
7. Перестановки с повторениями.
8. Сочетания и их свойства.
9. Сочетания с повторениями.
Уметь:
10. Вычислять по различным комбинаторным формулам.
Рассмотрим ряд примеров, иллюстрирующих применение комбинаторных формул в задачах.
1. Упростить выражение .
Было бы неправильным просто вычислить все факториалы, после чего перейти к арифметике ‑ слишком большие числа. Используем, где возможно, расчленение факториалов:
;
;
.
Следовательно, .
2. Упростить выражение .
Напомним, что ; и , тогда
.
3. При расследовании хищения установлено, что у преступника семизначный телефонный номер, в котором ни одна цифра не повторяется. Следователь, полагая, что перебор этих номеров потребует одного-двух часов, доложил о раскрытии преступления. Прав ли он?
Известно, что любое число может быть записано с использованием десяти цифр ‑ 0, 1,..., 9. Так как телефонные номера обычно не начинаются с 0, то задача состоит в вычислении числа комбинаций из девяти различных цифр по 7. Очевидно, что это ‑ размещение по семи различным местам семи из девяти различных цифр, т.е.
номеров.
Даже если на проверку одного номера тратить 1 минуту, то на все
уйдет 3024 часа или 126 суток. Таким образом, следователь ‑ не прав.
4. Сколькими способами семь разных учебников можно поставить
на полке в один ряд?
Так как порядок учебников по условию ‑ значения не имеет, то имеем задачу о числе перестановок семи разных книг. Следовательно,
способов.
5. В штате прокуратуры областного центра имеется пять следователей. Сколькими способами можно выбрать двух из них для проверки оперативной информации о готовящемся преступлении?
Поскольку не имеет значения, какой сотрудник будет первым, а какой ‑ вторым, т.е. необходим выбор двух разных сотрудников из пяти возможных, то это ‑ задача о сочетаниях из пяти человек по два. Следовательно:
способов.
6. В розыгрыше первенства по футболу среди вузов принимает участие 16 команд, при этом любые две команды играют между собой только один матч. Сколько всего календарных игр?
Данная задача ‑ о числе выборок из 16 по 2. Таким образом,
игр.
7. Изменим условия примера 3. Пусть стало известно, что в телефонном номере преступника встречаются только цифры 2, 4, 5 и 7. Насколько уменьшится перебор всех возможных номеров?
Таким образом, в семизначном телефонном номере встречаются только четыре цифры, остальные три, очевидно, повторяют какие-то из имеющихся. Следовательно, имеем задачу о размещениях из четырех цифр по семи,
т.е. с повторениями.
Решение:
(повт.) = 47 =16384 номера.
Перебрать все эти номера можно примерно за 11 суток, что почти в 10 раз меньше, чем в примере 3.
8. Сколькими способами можно разложить в ряд две зеленые и четыре красные папки?
Так как названия папок не указываются, а критерием является цвет, то задача состоит в расположении шести цветных папок двух цветов. Имеем случай перестановок с повторениями. Следовательно,
способами.
9. Сколькими способами можно переставить буквы в слове «какао», чтобы получились все возможные различные наборы букв?
В заданном слове ‑ 5 букв, причем «к» и «а» повторяются по два раза, а «о» встречается один раз. Таким образом,
способов.
10. В кондитерской имеется пять разных видов пирожных. Сколькими способами можно выбрать набор из четырех пирожных?
Ясно, что можно выбрать как различные виды пирожных, так и пов-торяющиеся и даже составить набор из четырех одинаковых пирожных. Так как порядок следования пирожных в наборе не имеет значения, то эта задача относится к классу сочетаний с повторениями.
Следовательно,
(повт.) способами.
Дата публикования: 2014-11-18; Прочитано: 4383 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!