Примеры решения задач. Задача 1.3.1. В шарнире В кронштейна АВС подвешен груз весом Р=100 Н

Задача 1.3.1. В шарнире В кронштейна АВС подвешен груз весом Р= 100 Н. Определить усилия в стержнях кронштейна, если a = 110⁰, b= 30⁰, g = 40⁰. Стержни прикреплены к стене шарнирно (рис. 1.1, а).

Решение. Аналитический способ. Объектом равновесия следует считать шарнир В, так как он объединяет оба стержня и через него проходит линия действия активной силы (рис. 1.1, б).

Рис. 1.1

Применяя принцип освобождаемости от связей, мысленно отбросим стержни и заменим их действие на шарнир В реакциями, считая при этом все стержни растянутыми (усилия направлены внутрь стержней). Активную силу перенесем вдоль линии действия и приложим в шарнире.

Так как все силы лежат в одной плоскости, то необходимо показать две координатные оси. Систему отсчета изобразим так, чтобы ее начало находилось в точке В, ось х направим горизонтально и влево, а ось y – вертикально и вниз.

К объекту равновесия приложена система сходящихся сил, поэтому для ее равновесия необходимо и достаточно, чтобы равнодействующая этих сил равнялась нулю.

.

Для составления уравнений равновесия необходимо записать два уравнения проекций системы сил. Проекцией силы на какую-либо ось называется алгебраическая величина, равная произведению модуля силы и косинуса угла, который вектор силы образует с положительным направлением оси. Если угол, который сила образует с осью, острый, то проекция имеет знак «+», если тупой – то «–», если сила перпендикулярна оси, то ее проекция на данную ось равна нулю.

;

.

Определение неизвестных величин. Подставляя в уравнения равновесия значения и , а также используя формулу приведения ,запишем:

;

.

Тогда из первого выражения имеем

.

Произведя подстановку значения S ₁ во второе выражение, определим S ₂:

или

.

Зная значение , находим :

.

В результате усилие во втором стержне получено со знаком «–», это означает, что стержень 2 не растянут, а сжат. Положительное значение усилия в стержне 1 подтверждает правильность нашего предположения о том, что он растянут.

Графический способ. Изобразив в произвольном масштабе вектор заданной силы , проводим через его начало и конец прямые, параллельные независимым реакциям и , причем не имеет значения, какую прямую провести через начало заданной силы, а какую – через ее конец (рис. 1.2). Точка пересечения линий, параллельных неизвестным реакциям, определяет третью вершину треугольника.

Рис. 1.2

Совершая обход треугольника в направлении заданной силы , показываем реакции стержней. Модули и определяются по теореме синусов.

откуда

В силовом треугольнике получаем истинное направление реакций: направлена так же, как и на расчетной схеме (рис. 1.2, б), то есть стержень 1 растянут, а реакция направлена в противоположную сторону, что означает – стержень 2 сжат.