![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Число а называется пределом последовательности если для всякого сколь угодно малого положительного числа ε найдётся такое положительное число N, что
при n > N.
Число A называется пределом функции f(x) при x → a, если для любого сколь угодно малого ε > 0 найдётся такое δ > 0, что ׀ f(x) – A׀ < ε при
.
где M – произвольное положительное число.
В этом случае функция f(x) называется бесконечно большой величиной при x → a.
величиной при x → a.
Если x < a и x → a, то условно пишут x → a – 0; если x > a и x → a, то пишут x → a + 0.
делом функции f (x) в точке a.
Практическое вычисление пределов основывается на следующих теоремах.
4)
5) при (
)
Используются также первый и второй замечательные пределы:
1)
2)
Логарифм числа x по основанию e называется натуральным логарифмом и обозначается ln x.
При решении примеров полезно иметь в виду следующие равенства:
Пример 9. Показать, что при n →∞ последовательность имеет пределом число 2.
Решение. Здесь n –й член последовательности . Следовательно,
. Зададим заранее положительное число ε. Выберем n настолько большим, что будет выполняться неравенство 1/ n < ε. Для этого достаточно принять n > 1/ε. При таком выборе n будем иметь
. Следовательно,
.
Пример 10. Показать, что при n → ∞ последовательность 7/3, 10/5,
13/7,..., (3n + 4) /(2n + 1),... имеет пределом число 3/2.
Решение. Здесь 3/2 = (3n + 4) /(2n + 1) – 3/2 = 5/
. Определим, при каком значении n выполняется неравенство
5/ ; так как 2(2n + 1) > 5/ε, то n > 5/4ε – 1/2.
Положив ε = 0,1, заключаем, что неравенство выполняется при n > 12 (например, при n = 13).
Неравенство выполняется при n > 124,5 (например, при n = 125).
Неравенство выполняется при n > 1249,5 (например, при n = 1250).
Пример 11.
Решение. Так как x → 4, то числитель дроби стремится к числу
5 · 4 + 2 = 22, а знаменатель к числу 2 · 4 + 3 = 11.
Пример 12.
Решение. Числитель и знаменатель дроби безгранично возрастают при
x → ∞. В таком случае говорят, что здесь имеет место неопределённость вида .
Разделив на x числитель и знаменатель дроби, получаем
Пример 13.
Решение. Здесь числитель и знаменатель дроби стремятся к нулю при
x → 3 (принято говорить, что получается неопределённость вида .
Пример 14.
Решение. Разложим на множители числитель и знаменатель дроби:
Пример 15.
Решение. Имеем
Числитель дроби стремится к 300, а знаменатель стремится к нулю, т.е. является бесконечно малой величиной, следовательно, рассматриваемая дробь –бесконечно большая величина и
Пример 16.
Решение. Умножим числитель и знаменатель дроби на сумму
:
Пример 17.
Решение. Положим , тогда
Пример 18.
Решение. Имеем
Пример 19.
Решение. Имеем
Здесь мы воспользовались результатом предыдущего примера, приняв
Пример 20.
Решение. Разделим числитель и знаменатель дроби на старшую степень x, т.е. на :
Пример 21.
Решение. Разделим числитель и знаменатель на :
Пример 22.
Решение. Умножим и разделим рассматриваемое выражение на
:
Пример 23.
Решение. Делением числителя дроби на знаменатель выделим целую часть:
Таким образом,
так как
то
Приняв во внимание, что
Пример 24. Найти левый и правый пределы функции
при x → 3.
Решение.
Пример 25. Найти левый и правый пределы функции при
x → a.
Решение.
Дата публикования: 2014-11-18; Прочитано: 805 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!