Схемы с узловыми элементами

Выбираем условную подсистему с узловыми элементами P₃ –P₄

P(H₁) = P₃ P₄

P(H₂) = P’₃ P’₄

P(H₃) = P₃ P’₄

P(H₄) = P’₃ P₄

P_s/H1 = [1- (1-p₁) (1-p₂)] [1- (1-p₅) (1-p₆)]

P_s/H2 = 0

P_s/H3 = P₁ P₅

P_s/H4 = P₂ P₆

P_s = S^N_i=1 P(H_i) * P_s/Hi

i Î I_p – i принадлежит множеству работоспособных состояний.

P_s= P₃ P₄ [1- (1-p₁) (1-p₂)] [1- (1-p₅) (1-p₆)] + P₃ P’₄ * P₁ P₅ + P’₃ P₄ * P₂ P₆

Матричный метод расчёта произвольных структур надёжности.

Существует множество схем, которые нельзя разложить на подсхемы с последовательно-параллельным соединением элементов, используя теорию суперпозиции. Кроме того, в схеме могу быть зависимые отказы.

Матричный метод расчёта с использованием метода структурных схем надёжности(ССН) снимает эти ограничения.

Алгоритм решения:

1. Система, имеющая n элементов, может находиться в двух состояниях

2. Каждое состояние системы из двух рассматривается как гипотеза, при которой определяется вероятность работоспособного состояния.

3. Вероятность работоспособного состояния при каждой гипотезе определяется по формуле последовательно соединённых элементов схемы, независимо от их реального соединения.

P_s/Hi = Õⁿ_i=1 x_i

где x_i – вероятность работоспособности или неработоспособности состояния каждого элемента.

4. Определяются все гипотезы, обеспечивающие связность в исходной схеме.

5. Определяются вероятности работоспособности состояния по формуле полной вероятности с включением тех гипотез, при которых обеспечивается связность графа.

P_s =S_iÎIp P_s/Hi

Матрица работоспособных состояний элементов:

Гипотеза состояния системы	№ элемента	Ps/Hi	Наличие связности
Ho						q1 q2 q3 q4 q5	нет
H1						p1 q2 q3 q4 q5	нет
H2						q1 p2 q3 q4 q5	нет
…
H5						p1 p2 q3 q4 q5	нет
…
						p1 q2 p3 q4 q5	да
…
H31						p1 p2 p3 p4 p5	да

Верхняя и нижняя оценка надёжности по методу Эзари-Прошана (Литвака-Ушакова).

Оценка основана на теореме о min-^ых путях и min-^ых разрезах графа с надёжными рёбрами.

min-^ый путь(разрез) – путь без потерь и повторений.

min-^ый путь: x₁ x₄

x₂ x₅ и т.д.

min-^ый разрез: x₁ x₄

x₄ x₅

х₁ х₃ х₅ и т.д

Доказывается следующее двойное неравенство:

Р^(разр)_ЭП £ P_s £ Р^(путь)_ЭП

Р^(разр)_ЭП = (1- q₁q₂) (1-q₄q₅) (1- q₁q₃q₅) (1- q₂q₃q₄)

Р^(путь)_ЭП = 1- (1- p₁p₄) (1-p₂p₅) (1- p₁p₃p₅) (1- p₂p₃p₄)