Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования 4 страница

b₁₀a₀ + b₁₁a₁ + … +b_1ma₁ = c₁

...................................................

b_m0a₀ + b_m1a₁ + … + b_mma_m = c_m

ПРИМЕР.Вывести эмпирическую формулу для функции y=f(x) заданной таблицей, используя метод наименьших квадратов.

x	0,75	1,50	2,25	3,00	3,75
y	2,50	1,20	1,12	2,25	4,28

Эти данные изобразим на графике, из которого видно, что в качестве функции y= f(x), можно принять квадратный трехчлен:

m = 0 1 2

y = φ(х) = a_{0 +} a₁х ₊ a₂х²

0,75 1,5 2,25 3,00 3,75

y 5

В данном случае m=2, n = 4 и система уравнений (5.4) примет вид:

b₀₀a₀ + b₀₁a₁ + b₀₂a₂ = c₀

b₁₀a₀ + b₁₁a₁ + b₁₂a₂ = c₁

b₂₀a₀ + b₂₁a₁ + b₂₂a₂ = c₂

Коэффициенты системы вычисляются по формулам (5.3):

Система уравнений записывается в виде:

5a₀ + 11,25a₁ + 30,94a₂ = 11,35

11,25a₀ + 30,94a₁ + 94,92a₂ = 29,00

30,94a₀ + 94,92a₁ + 309,76a₂ = 90,21

Отсюда находятся значения параметров эмпирической формулы:

a₀ = 5,54; a₁ = –4,73; a₂ = 1,19

В результате получим эмпирическую формулу:

φ(x) = 5,54 – 4,73x + 1,19x²

Оценим относительные погрешности полученной аппроксимации в заданных точках:

σy_i = =

x	φ(x)	y	△y	σy
0,75	2,66	2,50	0,16	0,064
1,50	1,12	1,20	-0,08	-0,067
2,25	0,92	1,12	-0,20	-0,179
3,00	2,06	2,25	-0,19	-0,084
3,75	4,54	4,28	0,26	0,061

ВЫПОЛНИТЬ САМОСТОЯТЕЛЬНО

ЗАДАНИЕ 5

С помощью метода наименьших квадратов определить коэффициенты а₀, а₁, а₂ полинома второй степени

y = φ(x) = a₀ + a₁x + a₂x²

аппроксимирующего функцию, заданную таблицей 5, вычислить значение функции в точке х^*

ТАБЛИЦА 5

	0,1,2	3,4,5,6	7,8,9
	Х	У	Х*	Х	У	Х*	Х	У	Х*
0,	0,2 0,3 0,8 1,2 1,8	2,2 2,1 1,9 1,8 1,7	0,4	2,0 4,0 6,0 8,0 10,0	5,3 4,2 3,3 1,2 1,4	3,0	1,9 2,5 3,0 3,6 4,0	7,6 7,8 7,9 8,0 8,2	2,0
2,	1,2 1,3 1,5 1,6 1,8	2,3 2,9 3,4 3,5 3,4	3,0	2,2 2,1 1,9 1,8 1,4	6,1 5,7 5,2 4,7 3,7	2,0	0,5 1,0 1,5 2,0 2,5	1,5 1,4 1,2 1,0 0,9	1,3
4,	0,8 0,9 1,0 1,1 1,2	6,1 7,2 8,5 9,9 1,1	0,7	0,0 0,5 1,0 2,0 2,2	2,4 2,3 2,0 5,4 6,3	0,7	-3,0 -2,0 -1,0 0,0 1,0	-0,7 0,0 0,5 0,8 0,9	-1,5
6,	1,0 2,0 3,0 4,0 5,0	1,1 1,5 2,0 2,6 3,3	2,5	6,0 3,0 1,5 1,0 0,7	4,8 3,2 2,1 1,7 1,4	2,0	1,0 2,0 3,0 4,0 5,0	1,0 1,9 2,4 3,2 3,9	2,5
8,	0,0 1,0 2,0 3,0 4,0	1,7 1,6 1,3 1,1 1,0	1,5	0,6 0,8 1,1 1,4 1,8	0,2 0,6 1,2 1,8 2,6	0,9	0,0 2,0 4,0 6,0 8,0	0,6 0,9 1,4 2,0 2,8	3,0

ПРИМЕР

Определите методом наименьших квадратов коэффициенты а₀, а₁, а₂ полинома, аппроксимирующего в 5-ти точках функцию, заданную таблицей и вычислить значение функции в точке Х^*=2,5

n
x
y	1,5	1,2	1,0	0,8	0,7

m = 0 1 2

РЕШЕНИЕ. В качестве функции можно принять квадратный трехчлен

y = φ(x) = a₀ + a₁x + a₂x²

В данном случае m=2, n=4.

Запишем систему уравнений для расчета коэффициентов а₀, а₁, а₂ для функции, заданной в 5 точках n=0, 1, 2, 3, 4.

b₀₀а₁ + b₀₁а₁ + b₀₂а₂ = с₀

b₁₀а₀ + b₁₁а₁ + b₁₂а₂ = с₁

b₂₀а₀ + b₂₁а₁ + b₂₂а₂ = с₂

Вычислим величины

b₀₀= + + + + = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 5

b₀₁ = + + + + = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15

b₀₂ = + + + + = 1 + 49 + 16 + 25 = 55

b₁₀ = b₀₁ = 15

b₁₁ = b₀₂ = 55

b₁₂ = + + + + = 1³ + 2³ + 3³ + 4³ + 5³ = 118 + 27 + 64 + 125 = 255

b₂₀ = b₁₂ = 55

b₂₁ = b₁₂ = 255

b₂₂ = + + + + = 1⁴ + 2⁴ + 3⁴ + 4⁴ + 5⁴ = 1 + 16 + 81 + 256 + 625 = 979

Вычислим величины

С₀ = + + + + = 1⁰∙1,5 + 1⁰∙1,2 + 1⁰∙1.0 + 1⁰∙0,8 + 1⁰∙0,7 = 1,5 + 1,2 + +1,0 + 0,8 + 0,7 = 5,2

С₁ = + + + + = 1∙1,5 + 2∙1,2 + 3∙1,0 + 4∙0,8 + 5∙0,7 = 1,5 + 2,4 + 3,0 + 3,2 + 3,5 = 13,6

С₂ = + + + + = 1²∙1,5 + 2²∙1,2 + 3²∙1,0 + 4²∙0,8 + 5²∙0,7 = 1,5 + 4,8 + +9 + 12,8 + 17,5 = 45,6

Подставим полученные числа в систему.

5а₀ + 15а₁ + 55а₂ = 5,2

15а₀ + 55а₁ + 225а₂ = 13,6

55а₀ + 225а₁ + 979а₂ = 45,6

Решим эту систему методом Гаусса.

Прямой ход. Переводим систему к треугольному виду. Исключим а₀ из второго и третьего уравнения. Для этого разделим первое уравнение на 5:

а₀+3а₁+11а₂=1,04

Затем это уравнение умножим на 15 и результат вычтем из второго, затем умножим на 55 и вычтем из третьего. Получим систему:

а₀ + 3а₁ + 11а₂ = 1,04

+10а₁+ 60а₂ = –2

60а₁+ 374а₂ = –11,6

Затем умножаем второе уравнение на 6 и вычтем из третьего уравнения. В итоге избавляемся в третьем уравнении от а₁. Получим систему:

а₀ + 3а₁ + 11а₂ = 1,04

10а₁ + 60а₂ = –2

14а₂ = 0,4

В результате получены а₀ = 1,84;

а₁ = –0,37

а₂ = 0,03

Запишем функцию:

y = 1,84 – 0,37х + 0,03х²

Значение функции в точке Х^*=2,5

у(2,5) = 1,84 – 0,37 ∙ (2,5) + 0,03 ∙ (2,5)² = 1,1

6. ПРИБЛИЖЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ

И ИНТЕГРИРОВАНИЕ

6.1 ИСПОЛЬЗОВАНИЕ КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ ДЛЯ

ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ

В случае задания функции в виде таблицы, для вычисления ее производной пользуются ее конечно-разностным представлением.

Так, первая производная функции y = f(x) есть

, ∆y = f(x+ ∆ x) – f(x)

∆x – приращение x,

а так как при табличном задании функции не стремится к нулю, то в качестве производной функции принимается выражение

.

Такое представление производной называется её конечно-разностной аппроксимацией, поскольку ∆x и ∆y имеют конечные значения.

В зависимости от способа вычисления конечных разностей получаются разные формулы для вычисления производной в одной и тоже точке:

– с помощью левых разностей:

=

– с помощью правых разностей:

=

– с помощью центральных разностей:

=

Можно найти такие выражения для старших производных:

Для более точной аппроксимации производной нужно использовать значение функции во многих точках.

6.2 ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫХ

ПОЛИНОМОВ.

Предположим, что функция f(x), заданная в виде таблицы с постоянным шагом h=x_i-x_i-1 может быть аппроксимирована первым интерполяционным многочленом Ньютона(4.4)

y ≈ y₀ + q∆y₀ + + … +

где q = .

Дифференцируя этот многочлен по переменной х с учётом правила дифференцирования сложной функции

можно получить формулы для вычисления производных любого порядка:

Вторая производная будет иметь вид:

,

Число слагаемых в этих формулах зависит от количества точек, используемых для вычисления производных.

Пример: вычислить в точке x=0,1 первую и вторую производные функции, заданной таблицей:

x y ∆y ∆2y ∆3y ∆4y 0,1 0,2 0,3 0,4 1,2833 1,8107 2,3606 2,9577 3,5969 0,5274 0,5599 0,5971 0,6392 0,0325 0,0372 0,0421 0,0047 0,0049 0,0002

Здесь h=0,1; q = = 1.

Заполняя таблицу конечными разностями и используя вышеполученные формулы, находим:

6.3 ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ.

Пусть дана непрерывная функция f(x) на отрезке [a,b] который мы разобьём на n отрезков. Требуется вычислить определённый интеграл на этом отрезке от f(x). Геометрически это означает, что необходимо вычислить площадь криволинейной трапеции, которая равна

y f(x) xn-1 x2 x1 a b x

определённому интегралу. Определённым интегралом от f(x) на отрезке [a,b] называется предел интегральной суммы, при которой длина элементарных отрезков стремится к нулю, т.е.

Однако на практике вычисления определённого интеграла используются нечасто, т.к. не каждая функция f(x) имеет первообразную и часто f(x) задается в табличном виде. Поэтому применяются методы численного интегрирования.

1) МЕТОД ПРЯМОУГОЛЬНИКОВ.

Он использует непосредственную замену определённого интеграла интегральной суммой, т.е.

В развёрнутом виде эти формулы записываются в следующем виде. Учтем, что ∆x= x_i+1 – x_i = h.

В первой формуле за высоту прямоугольников применяется левая сторона криволинейной трапеции, а во второй – правая сторона. Если в формуле прямоугольников за высоту принимать значение функции в серединах элементарных отрезков, то формула получается более точной. Этот метод ещё называется методом средних.

2) МЕТОД ТРАПЕЦИЙ.

y y(x) x xi+2 xi+1 xi

В этом методе также разбивают отрезок [a,b] на n равных частей с шагом Затем точки ординат y0, y1,…, yn соединяют хордами. В результате непрерывная кривая f(x) заменяется

ломанной линией и определённый интеграл заменяется суммой площадей трапеций. Площадь отдельной трапеции:

Определённый интеграл будет равен:

3) МЕТОД СИМПСОНА.

Более точным, нежели рассмотренные ранее, является метод Симпсона.

y = Ax2+Bx+C b=xn y y = f(x) x x2 x1 a=x0

Разобьём участок [a,b] на чётное число участков. Рассмотрим пару соседних участков x0x1 и x1x2. Проведём через 3 точки кривой f(x) параболу, управление которой y = Ax2 + Bx + C. Заменив площадь заданной криволинейной трапеции на участке [x0,x2] площадью ограниченной трапеции к

приближённому равенству:

Вынося за скобки (x₂ – x₀) и приводя к общему знаменателю, получим:

Неизвестные A,B,C находятся из условия, что при значениях x, равных x₀, x₁, x_2, функция f(x) принимает значения y₀, y₁, y₂. Заметим, что x1 = , запишем эти условия в виде:

(6.2)

Умножая второе равенство на четыре и складывая все три равенства (6.2), находим:

y₀ + 4y₁ + y₂ = A + B + 6C = 2A + 3B(x₀+x₂) + 6C, (6.3)

а это совпадает с квадратной скобкой формулы (6.1).

Подставив (6.3) в (6.1) и заметив, что х₂ – х₀ = 2h, получим

Ясно, что для каждой следующей пары участков получится такая же формула.

Суммируя равенство вида (6.4) и (6.5) по всем участкам и определенным образом сгруппировав элементы, получим:

Полученное соотношение называется формулой Симпсона или формулой парабол. В ней все ординаты с нечетными номерами умножаются на четыре, а все ординаты с четными номерами (кроме крайних) – на два.

7. ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ

НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ.

Корнем (решением) нелинейного уравнения f(x) называется такое x=ξ, при котором f(ξ)=0.

Нелинейные уравнения бывают алгебраические и трансцендентные. Алгебраические уравнения – это уравнения, содержащие алгебраические функции.

Уравнения, содержащие тригонометрические, показательные, логарифмические функции называются трансцендентными.

Методы решения нелинейных уравнений бывают прямыми и итерационными, т.е. методы последовательных приближений.

Приближенное нахождение изолированных корней обычно состоит из двух этапов:

1) отделение корней, т.е. определение промежутков [a,b], содержащих отдельные корни;

2) уточнение приближенных корней, т.е. доведение до заданной точности.

7.1 ИСПОЛЬЗОВАНИЕ КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ ДЛЯ

ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ.

При отделении корней пользуются теоремой:

Если непрерывная функция f(x) принимает значение разных знаков на концах отрезка [a,b], то внутри этого отрезка содержится, по меньшей мере, один корень уравнения f(x)=0. Корень будет единственным, если первая производная f’(x) существует и сохраняет

b y x a y=f(x)

постоянный знак на интервале [a,b]. Отделение корней начинаем с определения знаков f(x). Чтобы убедиться в существовании единственного корня на отрезке, нужно провести процесс половинного деления, определяя знаки f(x) в точках деления.

Пример: Определить корни уравнения f(x)=x3 – 6x + 2 = 0.

x f(x)   x f(x) –∞ –3 –1 – – + + +∞ – + +

Это уравнение имеет 3 действительных корня. Из таблицы знаков функции видно, что функция имеет три корня в интервалах (–3, –1), (0,1), (1,3).

7.2 ПОГРЕШНОСТЬ ПРИБЛИЖННОГО ЗНАЧЕНИЯ

КОРНЯ.

Если ξ-точное значение корня уравнения , -его приближенное значение на отрезке [a,b], причем ( -наименьшее значение функции в данном интервале), то погрешность приближенного значения корня будет:

Пример: Приближенным корнем уравнения является . Оценить абсолютную погрешность этого корня.

Решение: Имеем , то точный корень ξ содержится в интервале (1,22;1,23). Производная монотонно возрастает, поэтому её наименьшем значением в данном интервале является:

Отсюда .