Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования 2 страница

A=

Если m=n, то матрицу называют квадратной порядка n. Прямоугольную матрицу типа m×n обозначают в виде A=[a_ij]_m×n.

Квадратная матрица вида

A=

называется диагональной и обозначается A=[a₁,a_2,…,a_n].

Если a_i=1(i=1,2…,n), то матрица называется единичной и обозначается буквой E

E=

Матрица называется нулевой, если все ее элементы равны нулю. Она обозначается O_mn. Матрица называется верхней треугольной, если все элементы ее ниже главной диагонали равны нулю, и нижней треугольной, если ее элементы выше главной диагонали нулевые.

Матрица называется ленточного типа, если ненулевые элементы её располагаются параллельно главной диагонали, а остальные равны нулю.

Каждой квадратной матрице A соответствует определитель (детерминант), который обозначается detA или ∆.

Определители для матриц второго и третьего порядка вычисляются по правилу Саррюса:

∆ = detA = =

В этом случае определитель равен разности произведений элементов матрицы, расположенных вдоль главных диагоналей

Для вычисления определителя 3-го порядка к ней справа добавляются два первых столбца элементов, а затем составляется сумму произведений элементов, расположенных вдоль диагоналей, причем произведения элементов сверху вниз берутся со знаком плюс, а снизу вверх- со знаком минус.

detA = =

3.2 ДЕЙСТВИЯ С МАТРИЦАМИ

Если матрицы A и B одного типа, то имеет смысл операции сложения и вычитания.

Матрица суммы (разности), матриц A и B есть матрица C, элементы которой равны сумме (разности) соответствующих элементов матриц A и B.

Матрицу A можно умножить на число α. В результате получается матрица B, элементы которой получены умножением всех элементов матрицы A на число α.

Матрица –A=(–1)A называется противоположной матрице А. Если A-квадратичная матрица порядка n, то определитель матрицы C= αA равен:

detC = detαA = αⁿdetA

Операция умножения матриц:

Пусть A и B матрицы типов m×n и p×q соответственно. Если число столбцов n матрицы A равно числу строк p матрицы B(n=p), то для этих матриц существует матрица C типа m×q, являются их произведением.

C = ,

где (i=1,2,…,m, j=1,2,…,q)

Т.е. элемент матрицы – равен сумме произведений элементов i-ой строки матрицы A на соответствующие элементы j-го столбца матрицы B.

В общем случае AB ≠ BA. Если матрица A типа m×n и B типа p×q, то AB – матрица типа m×q, а BA – p×n.

Например:

A = ; B = ; AB =

BA = , т.е. AB ≠ BA;

3.3 ОБРАТНЫЕ МАТРИЦЫ

Матрица A^-1 называется обратной по отношению к квадратной матрице A, если их произведение равно единичной матрице:

AA^-1= A^-1*A=E;

Всякая матрица с отличным от нуля определителем имеет обратную матрицу. При этом:

detA^-1=

Минором элемента a_ij называется определитель (n1)-го порядка, образованный из определителя матрицы A зачеркиванием i-n строки из j-го столбца.

Алгебраическим дополнением A_ij элемента a_ij называется его минор, взятый со знаком плюс, если сумма номеров i+j четная, и со знаком минус, если эта сумма нечетная.

Для квадратной матрицы третьего порядка после группировки слагаемых получим определитель ∆.

∆ = =

Заключенные в скобках разности произведений элементов матрицы и есть алгебраические дополнения:

A_ij=(-1)^i+j ×M_ij

А в целом это есть разложение определителя по первой строке матрицы, т.е.:

∆ =

Каждый элемент обратной матрицы равен отношению алгебраического дополнения исходной матрицы A к знамению её определителя.

Таким образом, если detA = ∆ для этой же матрицы

= = =E

ВЫПОЛНИТЬ САМОСТОЯТЕЛЬНО

ЗАДАНИЕ 2

ДЕЙСТВИЯ С МАТРИЦАМИ

1) Вычислить произведение матриц A и B.

2) Найти матрицу обратную матрице A.

Задания приведены в таблице 2.

ТАБЛИЦА 2

	0,1,2	3,4,5,6	7,8,9
A	B	A	B	A	B
	5 8 1 1 2 3 2 –3 2	–1 0 5 0 1 3 2 –2 5	1 2 1 3 –5 3 2 7 –1	1 2 1 2 3 1 2 1 3	1 2 1 2 3 1 2 1 3	0 –2 6 2 4 3 0 –3 4
	1 2 4 5 1 2 3 –1 1	0 2 3 1 0 –2 3 1 1	4 –3 2 2 5 –3 5 6 –2	2 3 1 4 –1 0 0 1 2	2 –1 –1 5 4 –2 3 –2 4	5 1 2 –1 2 0 1 0 1
	5 3 –1 2 0 4 3 5 –1	1 1 2 2 –1 2 4 1 4	3 –1 0 –2 1 1 2 –1 4	–1 2 4 0 3 2 –1 –3 4	3 –1 1 2 –5 –3 1 1 –1	1 4 2 2 1 –2 0 1 –1
	1 1 1 2 –1 –5 3 –2 0	4 2 1 3 –2 0 0 –1 2	2 1 –1 1 1 1 3 –1 1	1 0 3 –2 0 1 –1 2 1	2–1–3 3 4–5 0 2 7	2 3 1 –1 2 4 5 3 1
	1 5 1 2 –1 –1 1 –2 –1	–1 –2 3 2 3 5 1 4 –1	1 –2 3 2 3 –4 3 –2 –5	2 3 1 4 –1 0 0 1 2	3 4 2 2 –1 –3 1 5 1	2 1 3 1 –2 0 4 –3 0

Вычислить сумму произведений одноименных элементов, аналогично рассчитывая остальные с_ij.

С₁₁=

С₁₂=

С₁₃ =

С₂₁=

С₂₂=

С₂₃=

С₃₁=

С₃₂=

С₃₃=

Следовательно:

С=A*B=

2. Найдем обратную матрицу A^-1. Матрица

A= имеет обратную, если её определитель ∆ не равен нулю.

Вычислить определитель.

Для этого разложим его по первой строке матрицы A

∆=

Вычислим алгебраические дополнения по формуле:

Минор получают вычеркиванием i-й строки и j-го столбца матрицы A, и из оставшейся части матрицы рассчитывается определитель:

=(-1)¹⁺¹

=(-1)¹⁺²

=(-1)¹⁺³

Определитель ∆= не равен 0, значит, матрица A имеет обратную матрицу A^-1.

Выражение обратной матрицы:

Здесь - алгебраическое дополнение элементов матрицы A.

Так как уже вычислены, то вычислим остальные :

=(-1)²⁺¹

=(-1)²⁺²

Подставим в выражение для ,

=(-1)²⁺³

=(-1)³⁺¹

=(-1)³⁺²

=(-1)³⁺³

получим обратную матрицу:

Для матрицы A и её обратной должно выполняться равенство , где E- единичная матрица.

Перемножим матрицы A и

Обратная матрица определена верно.

3.4 РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

МЕТОДОМ ИСКЛЮЧЕНИЯ ГАУССА.

Метод основан на приведении матрицы системы к треугольному виду. Это достигается последовательным исключением неизвестных из уравнений системы. Сначала с помощью первого уравнения исключается х₁ из всех последующих уравнений. Затем с помощью второго уравнения исключается х₂ из третьего и всех последующих уравнений. Этот процесс, называемый прямым ходом метода Гаусса, продолжается до тех пор, пока в левой части последнего (n-ого) уравнения не останется лишь один член с неизвестным x_n, т.е. матрица системы будет приведена к треугольному виду.

Обратный ход метода Гаусса состоит в последовательном вычислении искомых неизвестных: решая последнее уравнение, находим единственное в этом уравнении неизвестное x_n. Далее, используя это значение из предыдущего уравнения, вычисляем x_n-1 и т.д. Последним найдем x₁ из первого уравнения.

ВЫПОЛНИТЬ САМОСТОЯТЕЛЬНО

ЗАДАНИЕ 3

РЕШИТЬ СИСТЕМУ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ

ИСКЛЮЧЕНИЯ ГАУССА.

Система задана в таблице 3.

ТАБЛИЦА 3

	0,1,2	3,4,5,6	7,8,9
0,	x1+x2+2x3+3x4=1 3x1–x2–x3–2x4=–4 2x1+3x2–x3–x4=–6 x1+2x2+3x3–x4=–4	x1+2x2+3x3+4x4=5 2x1+x2+2x3+3x4=1 3x1+2x2+x3+2x4=1 4x1+3x2+2x3+x4=–5	2x1–x2+3x3–2x4=4 3x1+3x2+3x3+2x4=6 3x1–x2–x3+2x4=6 3x1–x2+3x3–x4=6
2,	x1+2x2+3x3–2x4=6 x1–x2–x3–3x4=8 3x1+2x2–x3+2x4=4 2x1–3x2+3x3+x4=–8	x1+3x2+5x3+7x4=12 3x1+5x2+7x3+x4=0 5x1+7x2+x3+3x4=4 7x1+x2+3x3+5x4=16	2x1–6x2+2x3+2x4=12 x1+3x2+5x3+7x4=12 3x1+5x2+7x3+x4=0 5x1+7x2+x3+3x4=4
4,	5x1–x2+x3+3x4=–4 x1+2x2+3x3–2x4=6 2x1–x2–2x3–3x4=8 3x1+2x2–x3+2x4=4	4x1–2x2+x3+4x4=3 2x1–x2+x3+3x4=1 3x1–x3+2x4=–3 2x1+2x2+2x3+3x4=–6	–x1+x2+x3+x4=4 2x1+x2+2x3+3x4=1 3x1+2x2+x3+2x4=1 4x1+3x2+2x3+x4=–5
6,	2x1–x2+2x3+2x4=–3 3x1+2x2+x3–x4=3 x1–3x2–x3–3x4=0 4x1+2x2+2x3+54=–15	x1–2x2+3x3–4x4=–2 2x1+3x2+4x3–5x4=8 3x1–x2–x3+7x4=–2 2x1–x2+6x3–3x4=7	3x1+2x2+5x3–x4=3 2x1–3x2–3x3+4x4=1 4x1+x2+3x3+2x4=3 5x1–2x2+x3+3x4=5
8,	2x1–x2+5x3–x4=1 3x1–3x2–2x3–5x4=2 x1–x2+2x3+3x4=10 3x1+2x2+7x3–2x4=1	3x1+x2+2x3–x4=8 2x1–3x2–3x3+x4=–3 4x1+2x2+5x3+3x4=6 x1+2x2–4x3–3x4=–3	2x1+3x2+5x3+x4=6 3x1+x2–x3+5x4=0 2x1–x2+3x4=–5 2x1+2x2–x3+7x4=–3

ПРИМЕР: Решить систему методом Гаусса

2x₁+x₂–0,1x₃+x₄=2,7

0,4x₁+0,5x₂+4x₃–8,5x₄=21,9

0,3x₁–x₂+x₃ + 5,2x₄=–3,9

x₁+0,2x₂+2,5x₃–x₄=9,9

РЕШЕНИЕ: Прямой ход. Приведем систему к треугольному виду. Исключим х₁ из второго, третьего и четвертого уравнения. Для этого разделим первое уравнение на 2, получим систему:

x1+0,5x2–0,05x3+0,5x4=1,35 0,4x1+0,5x2+4x3–8,5x4=21,9 0,3x1–x2+x3 + 5,2x4=–3,9 x1+0,2x2+2,5x3–x4=9,9

Затем умножим первое уравнение на 0,4 и результат вычтем из второго, затем умножим на 0,3 и вычтем из третьего, затем первое уравнение вычтем из четвертого. Получим систему:

x1+0,5x2–0,05x3+0,5x4=1,35 0,3x2+4,02x3–8,7x4=21,36 –1,15x2+1,015x3 + 5,05x4=–4,305 –0,3x2+2,55x3–1,5x4=8,55

Первое уравнение исключим из полученной системы и оставим его в качестве первого уравнения треугольной системы. Получим систему:

0,3x2+4,02x3–8,7x4=21,36 –1,15x2+1,015x3 + 5,05x4=–4,305 –0,3x2+2,55x3–1,5x4=8,55

Первое уравнение разделим на 0,3 и получим систему:

x2+13,4x3–29x4=71,2 –1,15x2+1,015x3 + 5,05x4=–4,305 –0,3x2+2,55x3–1,5x4=8,55

Исключим х₂ из второго и третьего уравнений по аналогии с предыдущим. Получим систему:

x2+13,4x3–29x4=71,2 16,425x3 – 28,3x4=77,575 6,57x3–10,2x4=29,910

Первое уравнение исключаем из системы и оставляем его в качестве второго уравнения треугольной системы. Получим систему:

16,425x3 – 28,3x4=77,575 6,57x3–10,2x4=29,910

Первое уравнение разделим на 16,425 и исключим х₃ из второго уравнения:

x3 – 1,72298x4=4,72298 1,11998x4=–1,11998

Первое уравнение полученной системы берем в качестве третьего уравнения треугольной системы, а второе уравнение – в качестве четвертого уравнения треугольной системы.

Таким образом получим треугольную систему:

x1+0,5x2–0,05x3+0,5x4=1,35 x2+13,4x3–29x4=71,2 x3 – 1,72298x4=4,72298 1,11998x4=–1,11998

Обратный ход. Из треугольной системы находим:

х₄=–1; х₃=3; х₂=2; х₁=1.

4. ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИИ. ИНТЕРПОЛЯЦИЯ.

Процесс приближения функции находит широкое распространение не только в научной и технической областях деятельности человека, но и в его повседневной деятельности. Одним из видов приближения функции является интерполяция. Поэтому каждому студенту необходимо быть знакомым с основными методами и приемами интерполирования.

4.1 ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ПРИБЛИЖЕНИЯ ФУНКЦИИ.

Пусть на отрезке [a,b] заданы точки х₀,х₁,…,х_n и значения некоторой функции f(x) в этих точках f(x₀)=y₀, f(x₁)=y₁,…,f(x_n)=y_n.

f(x) x xn x2 x1 x0 f(x) F(x)

Необходимо построить такую функцию F(x), которая принимает в точках xi (i=0,1,2,…,n) значения, равные значениям f(xi): F(x0)=y0, F(x1)=y1, …, F(xn)=yn Такая функция F(x) называется интерполирующей, а точки x0, x1, …, xn – узлами интерполяции.

Интерполяционную функцию F(x) используют для вычисления значений функции f(x) в промежутках между точками x_i, x_i+1.

Процесс вычисления f(x) в промежуточных точках между x₀,x_n называется интерполяцией.

Наиболее часто встречается интерполяция многочленами

F_n(x) = a₀ + a₁x + a₂x² + … +a_nxⁿ

Для вывода формулы многочлена P_n(x) по заданным параметрам функции f(x) прежде всего введем понятие конечные разности функции.

4.2 КОНЕЧНЫЕ РАЗНОСТИ РАЗЛИЧНЫХ ПОРЯДКОВ.

Рассмотрим случай равноотстоящих значений аргументов, т.е.

x_i – x_i-1 = h = const (i=1,2,…,n)

Величина h называется шагом.

Пусть известны значения функции в узлах xi

y_i = f(x_i)

Составим разности значений функции:

∆y₀ = y₁ – y₀ = f(x₀ + h) – f(x₀)

∆y₁ = y₂ – y₁ = f(x₀ + 2h) – f(x₀ + h)

… … … … … … … …

∆y_n-1 = y_n – y_n-1 = f(x₀ + nh) – f(x₀ + (n-1)h)

Эти значения называются первыми конечными разностями (или разностями первого порядка) функции. Аналогично составляются конечные разности второго порядка:

∆²y₀ = ∆(∆y₀) = ∆y₁ - ∆y₀; ∆²y₁ = ∆(∆y₁) = ∆y₂ - ∆y₁

Аналогично конечной разностью k-ого порядка будет:

∆^ky_i = ∆^k-1y_i+1 - ∆^k-1y_i; i=0,1,…,n–1

Конечные разности различных порядков удобно располагать в виде горизонтальной таблицы разностей.

Используя эти формулы, построим горизонтальную таблицу конечных разностей для n=5.

x	y	∆y	∆2y	∆3y	∆4y
x0 x1 x2 x3 x4	y0 y1 y2 y3 y4	∆y0 ∆y1 ∆y2 ∆y3	∆2y0 ∆2y1 ∆2y2	∆3y0 ∆3y1	∆4y0

Пример 3. Составить горизонтальную таблицу разностей функции

y = 2x³ – 2x² + 3x – 1

от начального значения x₀ = 0, приняв шаг h = 1.

РЕШЕНИЕ: Полагая x₀=0, x₁=1, x₂=2, x₃=3, находим соответствующие значения

y₀=–1, y₁=2, y₂=13, y₃=44

Эти значения запишем в таблицу:

x y ∆y ∆2y ∆3y   –1

Отсюда имеем ∆y0 = y1 – y0 = 3 ∆y1 = y2 – y1 = 11 ∆y2 = y3 – y2 = 31 ∆2y0 = ∆y1 - ∆y0 = 8 ∆2y1 = ∆y2 - ∆y1 = 20 ∆3y0 = ∆2y1 - ∆2y0 = 12

Рассматривая символ ∆ как оператор, можно указать следующие его свойства:

∆(u + v) = ∆u + ∆v

∆(C∙u) = C∆u

∆^m(∆ⁿu) = ∆^m+nu

∆⁰(u) = u

Конечные разности можно выразить непосредственно через значения функции

∆y₀ = y₁ – y₀

∆²y₀ = ∆y₁ - ∆y₀ = (y₂ – y₁) – (y₁ – y₀) = y₂ – 2y₁ + y₀

∆³y₀ = ∆²y₁ - ∆²y₀ = (∆y₂ - ∆y₁) – (∆y₁ - ∆y₀) = ∆y₂ – 2∆y₁ + ∆y₀ = (y₃ – y₂) – 2(y₂ – y₁) + (y₁ – –y₀) = y₃ – 3y₂ + 3y₁ – y₀

Аналогично для любого k в узле x₀ можно написать

∆^ky₀ = y_k – ky_k-1 + y_k-2 + … + (–1)^ky₀ (4.1)