Задача 24

Рентні платежі виплачуються протягом 5 років у розмірі 14 тис. грн. Процентна ставка 16% річних. Визначити майбутню вартість ануїтету за наступних умов:

а) платежі вносяться один раз до року, а відсотки нараховуються щоквартально;

б) платежі вносяться 2 рази до року рівними сумами, а відсотки нараховуються один раз в рік;

в) рентні платежі вносяться щоквартально, відсотки нараховуються щоквартально;

г) рентні платежі вносяться щокварталу, а відсотки нараховуються по півріччям.

Задача 25.

Сім'я бажає протягом 3 років зібрати суму для придбання автомобіля вартістю 100 тис. грн. Вона може виділити на ці цілі 28 тис. грн. щорічно, поміщаючи їх в банк під 13% річних (відсотки складні). Яка сума була б потрібна сім'ї для придбання автомобіля вартістю 100 тис. грн., якби суму, що необхідна, помістили в банк на 3 роки під 13% річних?

Методичні вказівки до розв’язання задачі 1.

Майбутня вартість грошей (F) є сумою інвестованих у нинішній момент грошових коштів, в яку вони перейдуть через певний період часу з урахуванням умов вкладення.

Простим видом фінансової операції є одноразове надання у борг деякої первинної суми (Р) при умові, що через деякий час (t) буде повернена сума (F), яка і є майбутньою вартістю грошей. Дана операція характеризується показником темпу приросту або процентною ставкою:

, (3.1)

де n(t) - темп приросту або процентна ставка;

F - майбутня вартість грошей;

Р - первинна (початкова) сума грошей.

З формули (1) виходить, що:

, (3.2)

Оскільки > 0, то можна стверджувати, що час створює гроші.

Методичні вказівки до розв’язання задачі 2.

Існують дві основні схеми визначення майбутньої вартості грошей:

а) схема простих відсотків;

б) схема складних відсотків.

Розглянемо суть кожної схеми.

Залежно від того, коли проводиться нарахування відсотків, застосовують два методи нарахування: а) декурсивний метод - припускає нарахування відсотків в кінці періоду, при цьому використовують ставки нарощування; б) антиси-пативный метод - передбачає нарахування відсотків на початку періоду, при цьому використовують облікові ставки.

Суть схеми нарахування по простих відсотках або простим процентним ставках зводиться до того, що відсотки нараховуються протягом всього терміну фінансової операції на одну і ту ж величину грошових коштів, наданих для вкладення.

Формула для визначення майбутньої вартості грошей з використанням простих відсотків може бути представлена і наступному вигляді:

(3.3)

де F — майбутня вартість грошей по схемі простих процентів;

Р - первинна сума грошових коштів;

n -проста процентна ставка, долі одиниць;

t - термін нарахування відсотків (в роках).

Методичні вказівки до розв’язання задачі 3.

При використанні простих відсотків дуже часто період фінансової операції не дорівнює цілому числу років, тому періоди нарахування простих відсотків виражаються дробовим значенням, тобто як відношення числа днів або місяців функціонування операції до днів або місяців в році:

, (3.4)

де f - число днів (місяців) функціонування операції;

k - тривалість року (K = 365 (366) днів або 12 місяців).

З урахуванням формули (4) майбутня вартість грошей по схемі простих відсотків визначається таким чином:

(3.5)

Методичні вказівки до розв’язання задачі 4.

При укладанні фінансових угод процентна ставка може бути не тільки постійною, але і змінюватися протягом періоду дії договору. В цьому випадку майбутня вартість грошей по схемі простих відсотків може бути визначена по формулі:

, (3.6)

де n_i - ставка простих відсотків в період і;

t_i - тривалість (період) нарахування ставки n_i;

m - число періодів нарахування відсотків.

При капіталізації процентного доходу майбутня вартість грошей по схемі простих відсотків може визначатися по формулі:

(3.7)

Розрахунок майбутньої вартості грошей по простій обліковій ставці визначається по формулі:

, (3.8)

де F - майбутня вартість грошей по простій обліковій ставці;

Р - сума грошей, що надається у борг;

t - тривалість фінансової операції (роки);

d - облікова ставка, долі одиниць.

Методичні вказівки до розв’язання задачі 5.

У фінансовій практиці достатньо часто виникає необхідність за відомими даними визначити процентну (облікову) ставку або період дії фінансової операції. Строк дії фінансової угоди може бути визначений по формулі:

(3.9)

Якщо період дії фінансового договору заданий в днях або місяцях, то можна скористатися формулою:

(3.10)

де k - 365 (366) днів або 12 місяців.

Методичні вказівки до розв’язання задачі 6.

Термін дії фінансової угоди при використанні облікової ставки може проводитися по формулі:

(3.11)

де t - термін позики в роках.

Коли термін договору визначається в днях (місяцях), то розрахунок ведеться по формулі:

(3.12)

де f - число днів (місяців) операції.

Методичні вказівки до розв’язання задачі 7.

Якщо нам не відомі процентна ставка або облікова ставка, то їх можна визначити по наступних формулах:

Процентна ставка:

(3.13)

Облікова ставка:

(3.14)

Методичні вказівки до розв’язання задачі 8.

Схема складних відсотків в практиці фінансових обчислень використовується ширше, ніж простих відсотків. Основна відмінність складних відсотків від простих полягає в тому, що процес нарощення здійснюється в кожному новому періоді нарахування не на первинну грошову суму, а на величину з урахуванням капіталізованих (доданих) відсотків.

Так же як і при нарахуванні простих відсотків існують два методи нарахування складних відсотків: декурсивний і антисипативний.

Майбутня вартість грошей по ставці складних відсотків визначається по формулі:

, (3.15)

де F - майбутня вартість грошей по ставці складних фіксованих відсотків;

Р - первинна сума грошей;

n - річна фіксована ставка відсотка, долі одиниць;

t - термін нарахування (число повних років).

Величину (1+n) називають складним декурсивним коефіцієнтом, а величину (1 + n)^t - множителем складних відсотків.

Методичні вказівки до розв’язання задачі 9, 10.

В умовах ринкової економіки, коли кон'юнктура фінансового ринку може мінятися достатньо швидко, банки використовують не тільки фіксовані, але і плаваючі складні процентні ставки.

Майбутня вартість грошей при плаваючих по періодах ставкам складних відсотків визначається по формулі:

(3.16)

де n₁, n₂, …, n_m - послідовні значення ставок відсотків;

t₁, t₂, …, t_m – періоди, на протязі яких використовуються відповідні ставки відсотків.

Методичні вказівки до розв’язання задачі 11.

Якщо термін фінансової операції виражений дробовим числом, то в таких випадках нарахування відсотків може виконуватися двома способами:

а) по формулі складних відсотків

, (3.17)

де t = a+b - період операції (а — ціле число років, b — дробова частина року).

б) змішаним способом

, (3.18)

При t = b < 1, тобто при загальному терміні менше року, майбутня вартість грошей по змішаному методу буде більша, оскільки (1 + ) > (1 + n)^b.

У практиці фінансових обчислень дуже часто передбачається внутрішньорічне нарахування відсотків з їх капіталізацією. Річна ставка в цьому випадку називається номінальною, а для внутрішньорічних нарахувань вказується число періодів (m), по яких проводиться нарахування відсотку протягом року. В цьому випадку майбутня вартість грошей при внутрішньорічних нарахуваннях визначається по формулі:

, (3.19)

де m - число періодів нарахування відсотків в році.

Методичні вказівки до розв’язання задачі 12.

У фінансових обчисленнях по схемі складних відсотків часто виникає необхідність за відомими даними визначити період дії фінансової угоди або процентну ставку.

Термін дії фінансової операції можна визначити по формулам:

а) при нарощуванні по номінальній ставці відсотків:

, (3.20)

б) за умови внутрішніх нарахувань (m) разів на рік:

, (3.21)

Номінальна процентна ставка визначається по формулі:

, (3.22)

Процентна ставка при внутрішньорічних нарахуваннях визначається по формулі:

, (3.23)

Різними видами фінансових угод можуть бути передбачені різні схеми нарахування відсотків. Щоб полегшити порівняльний аналіз ефективності таких договорів необхідно мати показник, який був би універсальним для будь-якої схеми нарахування. Таким показником може бути ефективна річна процентна ставка (r), яка забезпечує перехід від первинної величини вкладеної суми (Р) до майбутньої вартості грошових коштів (F) при заданих значеннях цих показників.

По Е.М. Четиркіну множники номінальної і ефективної ставок повинні бути рівні:

, (3.24)

Звідки ефективна річна процентна ставка дорівнює:

, (3.25)

З формули 25 виходить, що ефективна ставка залежить від кількості внутрішньорічних нарахувань, причому із зростанням (m) вона збільшується.

Методичні вказівки до розв’язання задачі 13.

Нарахування відсотків на початково вкладену суму грошових коштів проводитися дуже часто, тому такий процес нарахування можна розглядати як безперервний. В цьому випадку використовуються безперервні відсотки. Суть безперервних відсотків полягає в тому, що кількість періодів нарощування прагне до нескінченності, а часовий інтервал між періодами нарахування - до нуля.

Позначимо ставку безперервних відсотків (q), тоді майбутня вартість грошей в межах одного року визначається по формулі:

, (3.26)

Якщо процес безперервного нарахування відсотків продовжується більше 1 року, то формула майбутньої вартості приймає вигляд:

(3.27)

Із взаємозв'язку між процентною і безперервною ставками виходить:

, (3.28)

(3.29)

Нарахування складних антисипативних відсотків проводиться аналогічно розрахунку простих антисипативних відсотків. З цією метою для визначення майбутньої вартості грошей при використанні складних антисипативних відсотків застосовується формула:

, (3.30)

де - коефіцієнт нарощування при обчисленні складних антисипативних відсотків;

d - облікова ставка складних відсотків;

t - число років;

Р - первинна сума грошей;

F - майбутня вартість грошей.

Якщо нарощування по складних антисипативним відсотках проводиться (m) раз на рік, то майбутня вартість грошей визначається по формулі:

, (3.31)

де m - число періодів нарахування процесів в рік.

Методичні вказівки до розв’язання задачі 14, 15, 16.

Як вже наголошувалося раніше, інфляційні процеси є одним з чинників зміни вартості грошей в часі. Тому у фінансових розрахунках необхідно враховувати інфляційний чинник.

Для визначення майбутньої вартості грошей з урахуванням інфляції по схемі складних відсотків може бути використана формула:

, (3.32)

де F_L - майбутня вартість грошей з урахуванням інфляції по схемі складних відсотків;

Р - первинна сума вкладених грошей;

- множник нарощування, що враховує середньорічні темпи інфляції;

t - число повних років;

n — номінальна ставка відсотків;

L — темп приросту інфляції;

(1 + L)^t = J_t - індекс інфляції за t період.

Для зменшення дії інфляції і компенсації втрат від зниження купівельної спроможності грошей використовуються різні методи. Одним з них є індексація процентної ставки. Суть цього методу полягає в тому, що процентна ставка корегується відповідно до темпу інфляції. Величина корегування зазначається в договорі.

Процентну ставку, скореговану на темп інфляції можна визначити по формулі:

, (3.33)

де J_t — індекс інфляції за t період;

t - термін фінансової операції;

n - номінальна процентна ставка;

n_L - процентна ставка, скорегована на індекс інфляції.

При видачі довгострокових кредитів складна ставка відсотка (n_L), що забезпечує при річному рівні інфляції (L) реальну ефективність фінансової операції (n), визначається по формулі:

, (3.34)

У тому випадку, коли використовується величина індексу інфляції за весь термін фінансової операції, то процентна ставка, що враховує інфляцію, визначається по формулі:

(3.35)

Методичні вказівки до розв’язання задачі 17.

Справжня вартість грошей - це сума, що отримується в результаті приведення майбутньої вартості грошей до справжнього моменту за допомогою дисконтної ставки.

Якщо припустити, просту фінансову операцію, в результаті якої майбутня вартість засобів (F) приводиться до деякої справжньої суми (Р), то така операція характеризується показником, що називається темпом зниження (і(t)):

(3.36)

Темп зниження прийнято називати коефіцієнтом дисконтування або дисконтною ставкою.

Методичні вказівки до розв’язання задачі 18, 19.

Метод дисконтування найчастіше використовується в операціях по обліку векселів і оцінки ефективності інвестиційних проектів.

Облік векселя - це вирішення банку купити вексель у векселедержателя.

У теорії фінансових обчислень існують два методи розрахунку справжньої вартості: математичний і банківський (комерційний).

При математичному методі визначення справжньої вартості використовується процентна дисконтна ставка, тобто вирішується завдання зворотнє визначенню нарощеної суми. Це завдання, формулюється таким чином: яку суму грошей слід дати у борг на термін (t) років, щоб при нарахуванні на неї відсотків по ставці (n) отримати нарощену величину, рівну (F).

Банківський метод визначення справжньої вартості заснований на використанні облікової ставки (d), тобто відсотки за користування позикою нараховуються на суму, що підлягає сплаті в кінці терміну позики.

Визначення справжньої вартості грошей при математичному методі припускає використання схем простої і складної дисконтної ставки.

Справжня вартість грошей при використанні простій дисконтної ставки визначається по формулі:

, (3.37)

де Р - проста процентна дисконтна ставка;

і - термін фінансової операції (число повних років); у випадку коли (і) менше 1 року, тоді (f - число днів операції або число днів обернення векселя, або число днів до дати погашення векселя, або число місяців руху векселя; k - тривалість року в днях або в місяцях – 365 (366) днів або 12 місяців):

F - майбутня вартість грошей (майбутня або номінальна вартість векселя).

Дисконт визначається по формулі:

, (3.38)

Методичні вказівки до розв’язання задачі 20, 21.

Справжня вартість грошей при використанні складної процентної дисконтної ставки визначається по формулі:

, (3.39)

де - дисконтний множник;

і - складна процентна дисконтна ставка.

У фінансових обчисленнях базова формула (39) визначення справжньої вартості може бути трансформована з урахуванням різних періодів формування грошових потоків:

(3.40)

де F₁, F₂, F₃, …F_t - майбутня вартість грошей, що формується по періодах;

(1 +i)¹, (1 +i)², (1 +i)³ , …, (1 +i)^t - дисконтні множники по періодах;

t - число періодів, приведення майбутньої вартості до справжнього моменту часу.

Запропонована формула є базовою для оцінки ефективності інвестиційних проектів. Щоб оцінити ефективність інвестиційного проекту у формулу 40 необхідно внести невеликі доповнення, що припускають зменшення справжньої приведеної вартості на величину стартових інвестицій. Формула для розрахунку може бути:

, (3.41)

де NPV – чиста приведена вартість;

ІС - стартові інвестиції.

При нарахуванні складних дисконтних відсотків (m) раз на рік формулу 39 можна представити у такому вигляді:

, (3.42)

де - дисконтний множитель.

Для формул 39 і 42 значення дисконту може бути визначено по наступним формулам:

, (3.43)

, (3.44)

Методичні вказівки до розв’язання задачі 22, 23.

При банківському методі визначення справжньої приведеної вартості грошей при простій обліковій дисконтній ставці розрахунок проводиться по формулі:

(3.45)

де d - облікова дисконтна ставка, долі одиниць.

Справжня вартість грошей при складній дисконтній обліковій ставці визначається по формулі:

(3.46)

де d - складна річна дисконтна облікова ставка.

Дисконт обчислюється за формулою:

(3.47)

Складна дисконтна облікова ставка може бути визначена по формулі:

(3.48)

Методичні вказівки до розв’язання задачі 24.

Фінансовою рентою або ануїтетом називається ряд послідовних фіксованих платежів, що виконуються через рівні проміжки часу.

Фінансові ренти (ануїтети) характеризуються такими параметрами:

1) член ренти - величина кожного окремого платежу;

2) період ренти - часовий інтервал між двома платежами;

3) термін ренти - час від початку реалізації ренти до моменту нарахування останнього платежу;

4) процентна ставка - ставка, що використовується для розрахунку нарощування платежів, складових ренту.

Крім того, рента характеризується: кількістю платежів в рік, частотою нарахування відсотків, моментом виробництва платежу (на початку, середині або в кінці року) і так далі.

Узагальнюючими показниками ренти (ануїтету) є майбутня (нарощена) і поточна або справжня (приведена) її величина.

Майбутня вартість ануїтету - це сума всіх членів потоку платежів з нарахованими на них відсотками на кінець терміну, тобто на дату останньої виплати.

Для визначення майбутньої вартості звичайного ануїтету можна використовувати формулу:

(3.49)

де F - майбутня вартість звичайного ануїтету;

C - величина щорічного внеску (платежу);

T - термін ануїтету;

n - процентна ставка;

- коефіцієнт нарощування ануїтету.

У практиці фінансових розрахунків з використанням ануїтетів можуть бути різні варіанти рентних платежів і нарахування відсотків. Розглянемо 4 можливих варіантів ануїтетів.

1. Рентні платежі вносяться раз на рік, а відсотки на них нараховуються кілька разів на рік, наприклад, (m) разів на рік. В цьому випадку майбутня вартість ануїтету визначається по формулі:

(3.50)

2. Рентні платежі вносяться кілька разів протягом року рівними сумами, а нарахування відсотків проводиться один раз в кінці року. За таких умов майбутня вартість ануїтету може бути визначена:

, (3.51)

де р — число рентних платежів протягом року.

3. Рентні платежі вносяться (р) раз на рік, нарахування відсотків проводиться (m) раз на рік, число періодів нарахування відсотків протягом року рівне числу рентних платежів і перебіг року, тобто m = р. В цьому випадку майбутня вартість ануїтету визначається по формулі:

(3.52)

де n - номінальна ставка відсотків; I

t - термін ренти в роках;

m - число періодів нарахування відсотків протягом року.

Рентні платежі вносяться (р) раз на рік, нарахування відсотків проводиться (m) раз на рік, число рентних платежів дорівнює числу періодів нарахування відсотків, тобто р ≠ m. Майбутня вартість ануїтету може бути визначена з формули:

, (3.53)

де р - число рентних платежів протягом року;

m - число періодів нарахування відсотків протягом року;

n - номінальна процентна ставка;

t - термін ренти.

Методичні вказівки до розв’язання задачі 25.

При здійсненні фінансових обчислень іноді виникає необхідність визначення розмірів разових платежів і терміну ануїтету.

Величина рентного платежу може бути визначена по формулі:

(3.54)

Термін ануїтету визначається по формулі:

(3.55)

Справжня величина потоку рентних платежів - це сума всіх його членів, зменшена (дисконтована) на величину процентної ставки на певний момент часу, співпадаючий з початком потоку платежів, або передуючий йому.

Справжня величина показує, яку суму необхідно мати спочатку, щоб, розбивши її на рівні внески, на які б нараховувалися встановлені відсотки протягом терміну ренти, можна було забезпечити отримання нарощеної суми.

Оцінка справжньої величини проводиться на момент початку реалізації ренти.

Для ренти з членами, рівними (С), справжня величина визначається по формулі:

(3.56)

де А — справжня величина потоку рентних платежів;

С — сума рентного платежу;

а — коефіцієнт приведення ренти, що показує, скільки рентних платежів (С) міститься в справжній величині.

Коефіцієнт приведення ренти (а) визначається по формулі:

(3.57)

(3.58)

або

(3.59)

При нарахуванні відсотків (m) раз на рік справжня величина ануїтету обчислюється за формулою:

(3.60)

При розрахунку справжньої величини ануїтету досить часто виникає необхідність визначення терміну ренти. Cтрок ренти при розрахунку справжньої приведеної величини ануїтету визначається по формулі:

(3.61)

Розмір річного платежу може бути визначений по формулі:

(3.62)

3) виконати завдання та розв’язати задачі, що винесені на самопідготовку

Рекомендована література: [12, с.63-95], [17, с.117-152], [25, с. 77-93], [41, с.91-120]