Случайные величины. Случайная величина – переменная величина, конкретное значение которой зависит от случая

Случайная величина – переменная величина, конкретное значение которой зависит от случая. Например, температура воздуха в 12 ч дня 1 июля в г. Новосибирске; номер грани, выпадающий при бросании игрального кубика; скорость автомобиля в данный момент времени и т.д.

Для характеристики случайной величины необходимо знать множество возможных значений этой величины и вероятности, с которыми она может принимать эти значения. Эти данные образуют закон распределения случайной величины. Например, распределение числа очков при бросании игральной кости описывается равными вероятностями 1/6 для каждого значения от 1 до 6.

Различают случайные величины дискретные и непрерывные. Если множество возможных значений случайной величины конечно (или счетно), то случайная величина называется дискретной. Если случайная величина принимает значения из некоторого числового интервала множества действительных чисел, то такая случайная величина называется непрерывной.

Дискретной случайной называют величину X, которая принимает отдельные значения х_i с вероятностями p_i.

В зависимости от типа случайной величины – дискретной или непрерывной – возможны различные способы ее задания. Характеристика повторяемости случайных событий есть его вероятность. Поэтому для наиболее полного, исчерпывающего описания случайной величины надо задавать два множества: множество ее значений и множество вероятностей этих значений. В результате приходим к следующему определению.

Законом распределения дискретной случайной величины Х называется всякое соотношение, устанавливающее связь в виде равенства между возможными значениями случайной величины и вероятностями этих значений.

Про случайную величину говорят, что она «распределена» по данному закону распределения или «подчинена» этому закону распределения.

Закон распределения может быть задан в виде ряда, таблицы, аналитически (в виде формулы) и графически.

Непрерывную случайную величину А следует задавать не указанием вероятностей ее отдельных значений, а непрерывной (или кусочно-непрерывной) функцией, называемой плотностью распреде ления вероятностей случайной величины А.

Часто встречается нормальное распределение, или распределение Гаусса. На рисунке показаны два варианта плотности нормального распределения.

Важные характеристики случайной величины – математическое ожидание и дисперсия.

Математическое ожидание М(Х) определяется как среднее взвешенное по формуле .

Термин «математическое ожидание» связан с представлением о среднем или наиболее ожидаемом выигрыше в теории азартных игр.

Пример 1. Пусть в некоторой лотерее на каждый билет вероятность выиграть 100 руб. – 3%, 1 000 руб. – 0,5%, 10 000 руб. – 0,01%, других выигрышей нет. Каков средний выигрыш в лотерее (на один билет)?

Решение.Средний выигрыш подсчитывается по формуле математического ожидания

0,03x100 + 0,005x1000 + 0,0001x10 000 = 9 руб.

Дисперсия ( от лат. dispengo – рассыпать, рассеивать, разбрасывать ) D(X) случайной величины X характеризует разброс возможных ее значений относительно математического ожидания и определяется по формуле D(X) = М[Х – М (X)]².

Для детерминированной величины, принимающей только одно значение х₀, математическое ожидание равно х₀, а дисперсия равна нулю.

Понятие случайного (стохастического) процесса является расширением понятия случайной величины. Можно сказать, что случайный процесс – это семейство случайных величин, эволюционирующих во времени.

Основные понятия математической статистики

Термин «статистика» в настоящее время употребляется в разных значениях, однако зачастую под ним понимают науку, изучающую массовые явления для выявления закономерностей и получения некоторых обобщенных показателей, кратко характеризующих полученные данные. Как правило, статистика имеет дело с числовыми значениями, которые определяются влиянием множества различных причин, одни из которых – существенные, а другие – случайные. Основная задача статистики состоит в абстрагировании от случайного и выявлении типичного, характерного и закономерного.

Сам термин «статистика» произошел от латинского слова status, что означает «политическое состояние» и первоначально статистикой называли изучение государственных дел, а видных политических деятелей, хорошо осведомленных и потому способных делать обоснованные политические выводы, – statists. Позднее под словом «статистика» стали подразумевать числовые данные, на основе которых государственные деятели делали выводы, а еще позже стали применять и для числовых данных вообще и постепенно пришли к современному значению.

Без статистики невозможно изучать явления и процессы, происходящие в производстве, экономике и т.д. Статистическое изучение тех или иных явлений предполагает в качестве первого шага сбор сведений – статистическое наблюдение. В результате такого наблюдения получается беспорядочная груда сырого материала, нуждающегося в систематизации и обработке.

В основе научной статистики лежит метод группировок. Группировкой называется расчленение совокупности сведений по какому-либо признаку. Благодаря группировкам материал наблюдений принимает упорядоченный (систематизированный) вид. Группировочные признаки могут иметь количественное выражение – заработная плата, успеваемость и т.д. – или качественное – пол, должность, семейное положение и т.п.

Следующий этап обработки собранных данных – вычисление обобщающих показателей. В качестве таких показателей широко известны средние величины. Необходимость вычисления средних величин всегда возникает при изучении массовых явлений. Роль средних величин велика, так как в каждом явлении имеет место сочетание случайности и закономерности. При вычислении средних в силу действия закона больших чисел случайности взаимопоглощаются и уравновешиваются, поэтому появляется возможность переходить от единичного к общему, от случайного – к закономерному.