 |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
прогнозы
|
|
Точечный прогноз на основе временных моделей получается подстановкой в модель (уравнение тренда) соответствующего значения фактора времени, т.е. t = n +1, n +2,..., n + k.
Точное совпадение фактических данных и прогностических точечных оценок, полученных путем экстраполяции кривых, характеризующих тенденцию, имеет малую вероятность.
Возникновение соответствующих отклонений объясняется следующими причинами.
1. Выбранная для прогнозирования кривая не является единственно возможной для описания тенденции. Можно подобрать такую кривую, которая дает более точные результаты.
2. Прогноз осуществляется на основании ограниченного числа исходных данных. Кроме того, каждый исходный уровень обладает еще и случайной компонентой. Поэтому и кривая, по которой осуществляется экстраполяция, также будет содержать случайную компоненту.
3. Тенденция характеризует движение среднего уровня ряда динамики, поэтому отдельные наблюдения могут от него отклоняться. Если такие отклонения наблюдались в прошлом, то они будут наблюдаться и в будущем.
Интервальные прогнозы строятся на основе точечных прогнозов.
Доверительным интервалом называется такой интервал, относительно которого можно с заранее выбранной вероятностью утверждать, что он содержит значение прогнозируемого показателя. Ширина интервала зависит от качества модели, т.е. степени ее близости к фактическим данным, числа наблюдений, горизонта прогнозирования и выбранного пользователем уровня вероятности.
При построении доверительного интервала прогноза рассчитывается величина U(k), которая для линейной модели имеет вид:
, (1.26)
где
, (1.27)
где
- стандартная ошибка (среднеквадратическое отклонение от модели),
m – количество факторов в модели, для линейной модели m = 1.
Коэффициент 
[4] является табличным значениемt-статистики Стьюдента при заданном уровне значимости и числе наблюдений.
Если исследователь задает уровень вероятности попадания прогнозируемой величины внутрь доверительного интервала, равной 70%, то при n =9 = 1,12.
При вероятности, равной 95%, = 2,36.
Для других моделей величина U(k) рассчитывается аналогичным образом, но имеет более громоздкий вид.
Как видно из формулы (1.10), величина U зависит прямо пропорционально от точности модели, коэффициента доверительной вероятности 
степени углубления в будущее на k шагов вперед, т.е. на момент t = n+k, и обратно пропорциональна объему наблюдений.
Доверительный интервал прогноза будет иметь следующие границы:
– верхняя граница прогноза = Y прогноз(n+k) + U (k);
– нижняя граница прогноза = Y прогноз(n+k) – U (k).
Если построенная модель адекватна, то с выбранной пользователем вероятностью можно утверждать, что при сохранении сложившихся закономерностей развития прогнозируемая величина попадает в интервал, образованный верхней и нижней границей.
После получения прогнозных оценок необходимо убедиться в их разумности и непротиворечивости оценкам, полученным иным способом.
Пример 1.5
Финансовый директор АО «Веста» рассматривает целесообразность ежемесячного финансирования инвестиционного проекта со следующими объемами нетто-платежей, тыс. руб.:
45 40 43 48 42 47 51 55 50 57 60 62.
Требуется определить:
1) Линейную модель зависимости объемов платежей от сроков (времени).
2) Оценить адекватность и точность построенной модели на основе исследования:
- случайности остаточной компоненты по критерию пиков;
- независимости уровней ряда остатков по d - критерию (в качестве критических значений следует использовать уровни d 1 = 1,08 и d 2 = 1,36) и по первому коэффициенту автокорреляции, критический уровень которого r (1) = 0,36;
- нормальности распределения остаточной компоненты по RS - критерию с критическими уровнями 2,7 – 3,7;
- для оценки точности модели используйте среднеквадратическое отклонение и среднюю по модулю относительную ошибку;
3) Определить размеры платежей на 3 последующих месяца (построить точечный и интервальный прогнозы на два шага вперед (для вероятности
Р= 90% используйте коэффициент = 1,812) отобразить на графике фактические данные, результаты расчетов и прогнозирования). Оценить целесообразность финансирования этого проекта, если в следующем квартале на эти цели фирма может выделить только 120 тыс.руб.
Решение
1) оценка параметров модели.
Оценка параметров модели с помощью надстройки EXCEL Анализ данных.
Построим линейную модель регрессии Y от t. Для проведения регрессионного анализа выполните следующие действия:
· Выберите команду Сервис Þ Анализ данных.
· В диалоговом окне Анализ данных выберите инструмент Регрессия, а затем щелкните на кнопке ОК.
· В диалоговом окне Регрессияв поле Входной интервал Y введите адрес одного диапазона ячеек, который представляет зависимую переменную. В поле Входной интервал Х введите адрес диапазона, который содержат значения независимой переменной t Если выделены и заголовки столбцов, то установить флажок Метки в первой строке.
· Выберите параметры вывода. В данном примере Новая рабочая книга.
· В поле График подбора поставьте флажок.
· В поле Остатки поставьте необходимые флажки и нажмите кнопку ОК.
Результат регрессионного анализа содержится в нижеприведенных таблицах (табл. 1.13 и 1.14)
Таблица 1.13
| Переменная | Коэффициенты | Стандартная ошибка | t-статистика | |
| Y -пересечение | a 0 | 38,227 | 1,955 | 19,554 |
| t | a 1 | 1,811 | 0,266 | 6,818 |
Таблица 1.14. ВЫВОД ОСТАТКА
| Наблюдение | Предсказанное Y | Остатки |
| 40,038 | 4,962 | |
| 41,850 | -1,850 | |
| 43,661 | -0,661 | |
| 45,472 | 2,528 | |
| 47,283 | -5,283 | |
| 49,094 | -2,094 | |
| 50,906 | 0,094 | |
| 52,717 | 2,283 | |
| 54,528 | -4,528 | |
| 56,339 | 0,661 | |
| 58,150 | 1,850 | |
| 59,962 | 2,038 |
Во втором столбце табл. 1.13 содержатся коэффициенты уравнения регрессии a 0, a 1, в третьем столбце – стандартные ошибки коэффициентов уравнения регрессии, а в четвертом – t-статистика, используемая для проверки значимости коэффициентов уравнения регрессии.
Уравнение регрессии зависимости объемов платежей от сроков (времени) имеет вид:
.
Оценка параметров модели по формуле (3.5) «вручную».
Промежуточные расчеты параметров линейной модели по формулам (1.5 ) приведены в табл. 1.15.
Табл. 1.15
| № | 
| 
| 
| 
| 
| 
|  
|
| -5,5 | 30,25 | -5 | 27,5 | 40,04 | 4,96 | ||
| -4,5 | 20,25 | -10 | 41,85 | -1,85 | |||
| -3,5 | 12,25 | -7 | 24,5 | 43,66 | -0,66 | ||
| -2,5 | 6,25 | -2 | 45,47 | 2,53 | |||
| -1,5 | 2,25 | -8 | 47,28 | -5,28 | |||
| -0,5 | 0,25 | -3 | 1,5 | 49,09 | -2,09 | ||
| 0,5 | 0,25 | 0,5 | 50,91 | 0,09 | |||
| 1,5 | 2,25 | 7,5 | 52,72 | 2,28 | |||
| 2,5 | 6,25 | 54,53 | -4,53 | ||||
| 3,5 | 12,25 | 24,5 | 56,34 | 0,66 | |||
| 4,5 | 20,25 | 58,15 | 1,85 | ||||
| 5,5 | 30,25 | 59,96 | 2,04 | ||||
| 6,5 |
При вычислении «вручную» по формуле (1.4) получаем те же результаты:
,
Табл. 1.16.
| A | B | C | D | E | F | G | H | |
| ВЫЧИСЛЕНИЯ В EXCEL С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ФОРМУЛ | ||||||||
| № | 
| 
| 
| 
| 
| 
| 
| |
| =B2-$J$15 | =D2*D2 | =C2-$K$15 | =D2*F2 | =$M$21+$M$18*B2 | =C2-H2 | |||
| =B3-$J$15 | =D3*D3 | =C3-$K$15 | =D3*F3 | =$M$21+$M$18*B3 | =C3-H3 | |||
| =B4-$J$15 | =D4*D4 | =C4-$K$15 | =D4*F4 | =$M$21+$M$18*B4 | =C4-H4 | |||
| =B5-$J$15 | =D5*D5 | =C5-$K$15 | =D5*F5 | =$M$21+$M$18*B5 | =C5-H5 | |||
| =B6-$J$15 | =D6*D6 | =C6-$K$15 | =D6*F6 | =$M$21+$M$18*B6 | =C6-H6 | |||
| =B7-$J$15 | =D7*D7 | =C7-$K$15 | =D7*F7 | =$M$21+$M$18*B7 | =C7-H7 | |||
| =B8-$J$15 | =D8*D8 | =C8-$K$15 | =D8*F8 | =$M$21+$M$18*B8 | =C8-H8 | |||
| =B9-$J$15 | =D9*D9 | =C9-$K$15 | =D9*F9 | =$M$21+$M$18*B9 | =C9-H9 | |||
| =B10-$J$15 | =D10*D10 | =C10-$K$15 | =D10*F10 | =$M$21+$M$18*B10 | =C10-H10 | |||
| =B11-$J$15 | =D11*D11 | =C11-$K$15 | =D11*F11 | =$M$21+$M$18*B11 | =C11-H11 | |||
| =B12-$J$15 | =D12*D12 | =C12-$K$15 | =D12*F12 | =$M$21+$M$18*B12 | =C12-H12 | |||
| =B13-$J$15 | =D13*D13 | =C13-$K$15 | =D13*F13 | =$M$21+$M$18*B13 | =C13-H13 | |||
| =СРЗНАЧ (A2:A13) | =СРЗНАЧ (B2:B13) | =СУММ (D2:D13) | =СУММ (F2:F13) | =СУММ (H2:H13) | ||||
| a1= | =G14/E14 | |||||||
| a0= | =C14-E17*B14 | |||||||
2) оценка качества построенной модели.
2.1) Оценка адекватности
Для оценки адекватности построенных моделей исследуются свойства остаточной компоненты, т.е. расхождения уровней, рассчитанных по модели, и фактических наблюдений (табл. 1.17).
Табл. 1.17.
| № | 
| Точки поворота | 
| 
|
| 4,962 | 24,617 | |||
| -1,850 | * | 3,421 | 46,392 | |
| -0,661 | 0,437 | 1,413 | ||
| 2,528 | * | 6,391 | 10,169 | |
| -5,283 | * | 27,912 | 61,015 | |
| -2,094 | 4,387 | 10,169 | ||
| 0,094 | 0,009 | 4,791 | ||
| 2,283 | * | 5,213 | 4,791 | |
| -4,528 | * | 20,503 | 46,392 | |
| 0,661 | 0,437 | 26,924 | ||
| 1,850 | 3,421 | 1,413 | ||
| 2,038 | 4,155 | 0,036 | ||
| 100,902 | 213,504 |
· При проверке независимости (отсутствие автокорреляции) определяется отсутствие в ряду остатков систематической составляющей, например, с помощью d-критерия Дарбина–Уотсона по формуле (1.7):
Так как 
попало в интервал от d 2, до 2 то по данному критерию можно сделать вывод о выполнении свойства независимости.
Это означает, что в ряду динамики не имеется автокорреляции, следовательно, модель по этому критерию адекватна.
· Проверку случайности уровней ряда остатков проведем на основе критерия поворотных точек (формула (1.6)). Количество поворотных точек (p) равно 5 (рис. 1.14).
Неравенство выполняется (5>4). Следовательно, свойство случайности выполняется. Модель по этому критерию адекватна.
Рис. 1.14. График остатков
· Соответствие ряда остатков нормальному закону распределения определим при помощи RS-критерия:
RS= [ 
max – min] / 
;
где max – максимальный уровень ряда остатков, max = 4 ,9 62;
min – минимальный уровень ряда остатков, min = – 4, 528;
– среднеквадратическое отклонение,
= 
= 
= 3,029;
RS =[4 ,9 62 – (– 5.28 3)] / 3, 029 = 3, 383
Расчетное значение попадает в интервал (2,7 – 3,7), следовательно, выполняется свойство нормальности распределения. Модель по этому критерию адекватна.
· Проверка равенства нулю математического ожидания уровней ряда остатков.
В нашем случае 
= 0, поэтому гипотеза о равенстве математического ожидания значений остаточного ряда нулю выполняется.
В табл. 1.18собраны данные анализа ряда остатков.
Таблица 1.18. Анализ ряда остатков
| Проверяемое свойство | Используемые статистики | Граница | Вывод | |||
| наименование | значение | нижняя | верхняя | |||
| Независимость | d-критерий Дарбина–Уотсона r (1) – коэффициент автокорреляции | d =2,12 dn =4-2,21=1,88 | 0,98 | 1,36 0,36 | адекватна | |
| Случайность | Критерий пиков (поворотных точек) | 5 > 4 | адекватна | |||
| Нормальность | RS-критерий | 3, 383 | 2,6 | 2,7 | адекватна | |
| Среднее = 0?
| t-статистика Стьюдента | 0,000 | -2,179 | 2,179 | адекватна | |
| Вывод: Модель статистически адекватна | ||||||
2.2) Оценка точности
Для оценки точности модели вычислим среднюю относительную ошибку аппроксимации 
Таблица 1.19.
| Номер наблюдения | 
|
| 
|
| 4,96 | 0,110 | ||
| -1,85 | 0,046 | ||
| -0,66 | 0,015 | ||
| 2,53 | 0,053 | ||
| -5,28 | 0,126 | ||
| -2,09 | 0,045 | ||
| 0,09 | 0,002 | ||
| 2,28 | 0,042 | ||
| -4,53 | 0,091 | ||
| 0,66 | 0,012 | ||
| 1,85 | 0,031 | ||
| 2,04 | 0,033 |
- хороший уровень точности модели.
3) Построить точечный и интервальный прогнозы на три шага вперед
Для вычисления точечного прогноза в построенную модель подставляем соответствующие значения фактора 
:
Для построения интервального прогноза рассчитаем доверительный интервал. Примем значение уровня значимости α = 0,1, следовательно, доверительная вероятность равна 90%, а критерий Стьюдента при 
= n –2 =11 равен 1,812. Ширину доверительного интервала вычислим по формуле (1.10):
,
где 
=3,177 
= 1,812, 
, 
(находим из табл. 1.15),
,
,
.
.
Далее вычисляем верхнюю и нижнюю границы прогноза (см. табл. 1.20).
Верхняя граница = 
Нижняя граница = 
Таблица 1.20.
| 
| Прогноз | Верхняя граница | Нижняя граница |
| U1=6,80 | 61,77 | 68,57 | 54,97 | |
| U2=7,04 | 63,58 | 70,62 | 56,55 | |
| U3=7,29 | 65,40 | 72,69 | 58,10 |
Рис. 1.15. Результаты моделирования и прогнозирования
Ответ
1) Модель имеет вид Y = 38.23 +1.81 t.
2) Размеры платежей составят 61,77, 63,58, 65,40 тыс. руб.
3) Денежных средств в объеме 120 тыс. руб. на финансирование этого инвестиционного проекта на 3 последующие месяца будет недостаточно, поэтому нужно либо изыскать дополнительные средства, либо отказаться от этого проекта.
Контрольные вопросы:
1.Основные понятия и определения временного ряда.
2.Основная цель статистического анализа временных рядов.
3.Какие требования предъявляются к исходной информации?
4.Какие этапы построения прогноза по временным рядам?
5.Перечислите процедуры анализа данных и их содержание.
6.Перечислите способы обнаружения тренда и их содержание.
7.Из - за каких причин проводится сглаживание временных рядов?
8.Раскройте содержание метода простой скользящей средней сглаживания временного ряда.
9. Раскройте содержание метода взвешенной скользящей средней.
10.Когда применяется метод экспоненциального сглаживания наблюдений временного ряда и его содержание?
11.Перечислите показатели развития динамики экономических процессов.
12.Что означает автокорреляция временного ряда?
13.Как вычислить коэффициент автокорреляции?
14.Для чего строятся модели временных рядов?
15.Что означает «кривая роста» показателей временного ряда?
16.Как производится оценка качества построенной модели?
17.Как оценивается точность модели?
18.Какой порядок расчета точечных интервальных прогнозов?
Литература
1. Эконометрика: Учебник / Под ред. И.И.Елисеевой. - 2-е изд.; перераб. и доп. - М.: Финансы и статистика, 2005. - 576с.
2. Практикум по эконометрике: Учебное пособие / Под ред. Елисеевой И.И. - М.: Финансы и статистика, 2001,2002,2003,2004. - 192с
3. Айвазян С.А., Мхитарян В.С. Прикладная статистика и основы эконометрики. М.: ЮНИТИ, 1998.
4. Орлов А.И. Эконометрика: Учеб. пособие для вузов – М.: «Экзамен», 2002.
[1] Экстраполяция - это распространение выявленных при анализе рядов динамики закономерностей развития изучаемого объекта на будущее (при предположении, что выявленная закономерность, выступающая в качестве базы прогнозирования, сохраняется и в дальнейшем).
[2] табличное значение t кр можно получить с помощью функции EXCEL СТЬЮДРАСПОБР.
[3] В фактически действующих ценах соответствующих лет.
Источник - "Краткосрочные экономические показатели РФ". Госкомстат, Москва.
[4] Значение 
можно получить с помощью функции Excel СТЬЮДРАСПОБР.
Дата публикования: 2014-11-18; Прочитано: 2378 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!
