Непрямые умозаключения логики высказываний

Непрямые умозаключения представляют собой косвенные рассуждения. Они имеют довольно сложную структуру, благодаря тому, что состоят не из суждений, а из умозаключений. В них одно умозаключение получается из другого.

Этими формами выводов нередко пользуются в процессе аргументации, в частности, как средствами доказательств и опровержений. К непрямым умозаключениям относятся опровержение «путем сведения к абсурду», доказательство «от противного» и рассуждение по случаям.

Опровержение «путем сведения к абсурду» представляет собой непрямое умозаключение, в котором ложность некоторого суждения доказывается на основании того, что из данного суждения можно при помощи правильных умозаключений вывести противоречие.

Структура этого рассуждения такова. Сначала выдвигается некоторое предположение. Затем, используя правильные умозаключения, из него получается противоречие. На основании этого признают выдвинутое положение ложным. Упрощенно, форму этого вывода можно представить в следующем виде:

А ├ В Щ щВ

щА

Основанием такого рассуждения является непротиворечивость как свойство нашего мышления. Противоречие используется как признак неправильности какого-либо умозаключения в нашем рассуждении или ложности какого-либо суждения.

Пример. Представим себе, что на некотором острове живут только рыцари и лжецы. Причем лжецы всегда только лгут, а рыцари всегда говорят только правду. Приехавший на остров человек встречает двух местных жителей и спрашивает, кто они такие. На что один из них отвечает: «По крайней мере, один из нас лжец». Необходимо узнать, кем является отвечавший?

Предположим, что он является лжецом. Обозначим суждение «Ответивший – лжец» - А. Но тогда он сказал неправду, а, следовательно, ни один из них не является лжецом и оба они – рыцари. Мы получили противоречие: отвечавший в одно и тоже время рыцарь (В) и не рыцарь (ùВ). Значит, наше предположение не верно, и тот, кто отвечал, на самом деле является не лжецом, а рыцарем.

Доказательство «от противного» близко к опровержению «путем сведения к абсурду», однако, в отличие от «сведения к абсурду», которое направлено на опровержение некоторого суждения, доказательство «от противного» направлено на доказательство какого-либо суждения, однако при этом оно также использует противоречие.

Структура этого умозаключения следующая. Допустим, нам нужно доказать истинность некоторого суждения. Временно предполагаем истинным суждение, противоречащее доказываемому, то есть отрицание доказываемого суждения. Затем включается тот же механизм вывода, что и в «сведении к абсурду»: при помощи правильных умозаключений выводим из противоречащего доказываемому суждения, которое мы временно предположили истинным, противоречие. И, если удается сделать это, можно считать доказанным то, что мы неверно предположили истинным суждение, противоречащее доказываемому, и оно ложно, а следовательно истинно само доказываемое исходное суждение. Как говорится, что и требовалось доказать.

В виде схемы доказательство «от противного» можно представить так:

щА ├ В Щ щВ

А

Это умозаключение использует закон двойного отрицания: отрицание отрицания некоторого суждения равносильно его утверждению (щщАºА или щщА®А).

Пример. В качестве примера можно использовать ту же самую ситуацию с рыцарями и лжецами. Допустим, мы предположили, что отвечавший – рыцарь и хотим доказать это. Тогда временно допускаем, что он лжец, и выводим из этого противоречие. Тем самым мы доказываем истинность первоначального утверждения.

Рассуждение по случаям применяется тогда, когда необходимо сделать вывод из разделительного суждения (дизъюнкции). Поскольку на практике впрямую из дизъюнкции достаточно трудно делать выводы, то рассуждение по случаям как бы предлагает нам обходной маневр.

Принцип его заключается в следующем. Сначала смотрим, не следует ли интересующее нас суждение из всех альтернатив (случаев) дизъюнкции, и если следует, то его можно утверждать как следствие из всей дизъюнкции. Форма этого умозаключения:

А ├ С, В ├ С

А Ъ В ├С

От условно-разделительных умозаключений (дилемм) это непрямое умозаключение отличается тем, что в его посылках фигурируют не суждения, а умозаключения (выводы).

Пример. «Кондотьеры[2] по-разному владеют своим ремеслом: одни - превосходно, другие – посредственно. Первым нельзя довериться, потому что они сами будут домогаться власти… Вторым нельзя довериться, потому что они проиграют сражение» (Макиавелли).

В основе этого рассуждения лежит дизъюнктивная посылка «Кондотьеры по-разному владеют своим ремеслом: одни – превосходно, другие – посредственно». В логической форме это сложное суждение формулируется следующим образом: «Кондотьеры владеют своим ремеслом превосходно или кондотьеры владеют своим ремеслом посредственно». Из этого суждения Макиавелли делает выводы, применяя непрямое умозаключение, а именно, рассуждение по случаям. Он перебирает альтернативы (случаи) и показывает, что и в том, и в другом случае кондотьерам нельзя довериться. Рассмотрим схему этого рассуждения подробнее.

В нем можно выделить следующие простые суждения: s₁ – «Кондотьеры владеют своим ремеслом превосходно»; s₂ – «Кондотьеры владеют своим ремеслом посредственно»; r – «Кондотьерам нельзя довериться»; р – «Кондотьеры сами будут домогаться власти»; q – «Кондотьеры проиграют сражение».

s₁ и s₂ – это и есть альтернативы (случаи) дизъюнктивной посылки, лежащей в основе вывода. Посмотрим, каким образом делаются выводы из одного и другого случая.

Первый случай: «Кондотьеры владеют своим ремеслом превосходно». Макиавелли говорит, что «Если кондотьеры владеют своим ремеслом превосходно, то они сами будут домогаться власти: s₁®р.

Далее, «Если они сами будут домогаться власти, то им нельзя довериться»: р®r.

Отсюда вытекает, что им нельзя довериться. Схема вывода будет следующей:

s₁®р, s₁

р

Следующий шаг:

р®r, р

r

Второй случай: «Кондотьеры владеют своим ремеслом посредственно». Макиавелли утверждает, что если кондотьеры владеют своим ремеслом посредственно, то они проиграют сражение. Если же они проиграют сражение, то им нельзя довериться. Из этих посылок вытекает, что им нельзя довериться. Получается следующая схема вывода:

s₂®q, s₂

q

Следующий шаг:

q®r, q

r

Таким образом, мы вывели r из s₁ и из s₂. Это означает, что можно утверждать вывод r из s₁ Ъ s₂, т. е.

s₁ Ъ s₂ ├ r.

В результате получилась схема рассуждения по случаям:

s₁ ├ r, s₂ ├ r

s₁ Ъ s₂ ├ r