Сложные суждения и их истинность

Сложные суждения составляются из простых при помощи логических союзов. Основные виды сложных суждений следующие: конъюнктивные (АÙВ); дизъюнктивные (АÚВ); импликативные (АÉВ); образованные из других суждений с помощью отрицания (ùА); эквивалентные (АºВ), где А и В – простые или, в свою очередь, сложные суждения.

Логической формой сложного суждения является его запись на языке логики суждений, в которой простые суждения заменены на переменные p, q, r, s, p₁, q₁ и т.д.

Одним из важных вопросов, касающихся сложных суждений, является вопрос об их истинности. Истинность сложного суждения зависит от истинности входящих в него простых суждений (истинность или ложность простых суждений находится вне компетенции логики).

Для определения истинности сложных суждений строятся так называемые таблицы истинности. Эти таблицы были придуманы австрийским логиком и философом Людвигом Витгенштейном еще во время первой мировой войны. Каждая такая таблица имеет вход и выход. На входе вписываются все возможные комбинации значений истинности для простых суждений, из которых составлено сложное. На выходе выписываются значения сложного суждения. Эти значения представлены в таблицах 2 и 3.

Таблица 2		Таблица 3
Значения истинности сложных суждений
А	В	АÙВ	АÚВ	А Ú В	АÉВ	АºВ			А	ùА
и	и	и	и	л	и	и			и	л
и	л	л	и	и	л	л			л	и
л	и	л	и	и	и	л
л	л	л	л	л	и	И

Пример. Рассмотрим истинность сложного суждения: «Если бы Иван Грозный был бы зол по природе или не заботился об интересах государства, то он не отменил бы опричнины».

Выявим его логическую форму. Для этого запишем суждение на языке логики суждений. Обозначим: р – Иван Грозный был зол по природе; q – Иван Грозный заботился об интересах государства; r – Иван Грозный отменил бы опричнину. Получим следующую формулу:

(рÚùq)Éùr.

Для этой формулы построим таблицу истинности. Число строк в таблице истинности определится по формуле 2ⁿ, где n – количество переменных (простых суждений) в формуле (в суждении). Для нашего суждения: 2³=8.

Чтобы на «входе» таблицы перебрать все возможные сочетания значений «истина» и «ложь», можно использовать следующее правило: чередуйте в каждом столбце значения «истина»/«ложь» через 2^l-1 раз, где l – номер столбца.

Таким образом, для нашего суждения таблица истинности будет иметь следующий вид:

p	q	r	ùq	ùr	PÚùq	(pÚùq)Éùr
и	и	и	л	л	и	л
и	и	л	л	и	и	и
и	л	и	и	л	и	л
и	л	л	и	и	и	и
л	и	и	л	л	л	и
л	и	л	л	и	л	и
л	л	и	и	л	и	л
л	л	л	и	и	и	и

Вход Выход

Сложные суждения, у которых на «выходе», получаются только значения «истина», называются тождественно ( или логически) истинными. Именно такие суждения мы имели в виду, когда первой теме говорили о современном понимании закона логики. Логически истинные суждения истинны независимо от значений, составляющих их простых суждений, а являются истинными только в силу своей формы. Отсюда можно дать новое определение закона логики:

Закон логики – сложное суждение, которое во всех строках, построенной для него таблицы истинности, принимает значение «истина».

Суждения, у которых на «выходе» получаются только значения «ложь», называются тождественно ( или логически) ложными. Остальные суждения называются фактическими.