Степень Простые многочлены

2 x² +x +1

3 x³ +x +1

4 x⁴ +x +1

5 x⁵ +x² +1

6 x⁶ +x +1

7 x⁷ +x³ +1

8 x⁸ +x⁴ +x³ +x² +1

9 x⁹ +x⁴ +1

10 x¹⁰ +x³ +1

11 x¹¹ +x² +1

Примечание. Все многочлены являются примитивными.

В заключение параграфа подытожим, где мы находимся. Мы разработали необходимые для получения полей построения, которые будут использованы в дальнейшем, но для полного понимания предмета необходимы еще некоторые сведения. В частности, необходимо установить следующие факты: 1) над каждым полем Галуа существуют простые многочлены любой заданной степени; 2) разработанные построения достаточны для получения всех

полей Галуа —других полей нет (Математическая строгость требует здесь большего формализма, и надо было бы сказать, что нет других полей с точностью до изоморфизма. Неформально это означает, что любые два поля Галуа с одинаковым числом элементов являются двумя различными представлениями одного и того же поля. Иллюзия другой структуры может быть, например, создана перестановкой тех же самых символов.); 3) в каждом поле имеются некоторые предпочтительные, так называемые примитивные эле­менты.

На рис. 2.3 дается сводка наиболее существенных результатов, относящихся к полям Галуа. Остальная часть главы посвящена доказательству большинства из этих результатов и введению новых понятий. Доказательство существования примитивных многочленов мы откладываем до конца § 2.5.3.

1 Число элементов любого поля Галуа равно степени простого числа. 2 Для любого простого р и целого положительного т наименьшим подполем поля GF(рт) является поле GF(р) Элементы поля GF(р) называются целыми числами поля GF(рт),а число р- его характеристикой. 3 В поле Галуа характеристики 2 для каждого элемента β поля выполняется равенство β =β- 4 Для любого простого р и целого положительного т существует поле Галуа с рт элементами. 5 Каждое поле Галуа GF(q) содержит хотя бы один примитивный элемент. 6 Над каждым полем Галуа существует хотя бы один примитивный многочлен любой положительной степени. 7 Каждый примитивный элемент имеет над любым подполем простой минимальный многочлен. 8 Два поля Галуа с одним и тем же числом элементов изоморфны. 9 Для любого q, являющегося степенью простого числа, и любого положительного целого т поле GF(q) является подполем в GF(qт), а ОР (qт) является расширением поля GF(q). 10 Если п не делит т, то GF(qn) не является подполем поля GF(qm). 11 Для любого элемента поля GF(qт) степень минимального многочлена над GF(q) является делителем т.

Рис. 2.3. Некоторые основные свойства полей Галуа.

доказательству большинства из этих результатов и введению новых понятий. Доказательство существования примитивных многочленов мы откладываем до конца § 3.3.