Барометрична формула. Розподіл Больцмана частинок у зовнішньому потенціальному полі

Молекули будь-якого газу завжди перебувають в полі сил тяжіння. Тяжіння і тепловий рух приводять до стаціонарного стану газу, при якому його тиск і концентрація зменшується з висотою. Залежність тиску газу від висоти нази-вається барометричною формулою і має вигляд:

, (2.10)

де Р₀ - тиск газу на висоті h_{0 ,}

е - основа натурального логарифма,

М - молекулярна маса,

Т - абсолютна температура,

R - універсальна газова стала.

Рис.2.3 Рис.2.4 h

Із барометричної формули можна зробити висновок, що тиск газу зменшується із висотою експоненціально і тим швидче, чим важчий газ (чим більше М) і чим нижча температура Т (рис. 2.3).

Барометрична формула дозволяє знайти співвідношення між концентраціями газу на різній висоті. Використаємо рівняння стану ідеального газу у вигляді

P=nkT,

де n - концентрація молекул газу. При T = const отримуємо

,

де n₀ -концентрація молекул газу на висоті h =0. Оскільки M=m₀N_A, a R=kN_A то

, (2.10)

де Е_р –потенціальна енергія молекул в полі тяжіння.

Зі збільшенням висоти концентрація молекул газу зменшується за експоненціальним законом (Рис. 2.4). Підвищення температури викликає вирівнювання концентрації газу за висотою h.

Больцман довів, що співвідношення справедливе в довільному потенціальному полі сил, а не тільки у випадку сил земного тяжіння.Тому вираз

називається розподілом Больцмана у зовнішньому потенціальному полі. Цей закон визначає розподіл молекул за їхньою потенціальною енергією. Концентрація молекул більша там, де менша їхня потенціальна енергія, та навпаки, вона менша в місцях, де потенціальна енергія молекул більша.