Способи представлення чисел. Числа з фіксованою та рухомою комою

В комп’ютерних системах один двійковий розряд який може набувати два різні “0” та”1” є найменшою одиницею інформації яка називається бітом. Набір відповідної кількості бітів слугує для представлення багато розрядного двійкового числа (або в загальному випадку- двійкового коду слова). Розрядність слова може бути від одного біта до довільної кількості n бітів. Слово із 8 бітів називають байтом. Як правило, коли йдеться про комп’ютерну техніку, всі виміри кількості розрядів наводяться в бітах або в байтах. Часто словом іще називають число із 32 бітів, а число із 16 бітів півсловом.

Коли деяке число має 32 біти, то говорять, що воно представлене з одинарною точністю, якщо ж 64 біти з подвійною точністю.

Числові дані в комп’ютері представляють трьома способами.

Ø Як цілі або дробові числа з фіксованою комою, які складаються із деякої кількості бітів;

Ø Як числа з рухомою (ще деколи називають з “плаваючою”) комою кожне з яких має порядок та мантису;

Ø Як двійково кодовані десяткові де байт (чи пів байта) представляє число.

Якщо певне число більше за максимальне, яке може бути представлене певною кількістю розрядів, то значення числа може втрачатися. Таку ситуацію називають переповненням. Розробники комп’ютерних систем повинні передбачити, числа якої величини будуть використовуватись і виділити для їх представлення таку кількість розрядів щоб значення числа не втрачалося.

Сучасні комп’ютери використовують слова розрядністю від одного до 16 байтів. Спеціалізовані комп’ютери можуть використовувати слова розрядністю 128 байт.

Для кодування символів використовуються спеціальні коди, серед яких найпоширеніший – американський стандартний код інформаційного обміну ASCII, а в менфреймах – розширений двійково-кодований десятковий код обміну EBCDIC. Зазвичай для представлення одного символа використовується один байт.

Числа з фіксованою комою. У разівикористання чисел із фіксованою комою, представлення коми не виконується, але вважається що вона є на певній наперед відомій позиції відносно розрядів числа. Найчастіше вважається, що кома стоїть біля молодшого розряду (таким чином представляються дробові числа), хоча і можливе і застосування змішаного варіанту. У такому форматі представляються числа з діапазону –1 < число < 1 (якщо є знаковий розряд) або 0 < число < 1 (якщо знакового розряду немає).

На рисунку 10.1 показано приклад розрядної сітки комп’ютера (формату даних) для представлення двійкових чисел з фіксованою комою в вигляді 32-розрядних слів для випадків закріплення коми перед старшим і після молодшого розряду. Розряди пронумеровані зліва направо.

Рисунок 10.1 – Розрядна сітка при представлення війкових чисел з фіксованою комою

а- кома фіксована перед старшим розрядом а₁, б- кома фіксована після молодшого розряду а₃₁

Для кодування знаку числа використовується знаковий розряд (а₀ рис 10.1) У цьому розряді 0 відповідає знаку “+”,а 1 знаку “-“. На розрядній сітці вказано вагу кожного розряду. Найбільше додатнє число, яке може бути представлене в розрядній сітці рівне 0,11...1=1-2^-31. Тут після коми розміщена 31 одиниця. А найменше додатне число рівне 0,00...01=2^-31. Тут після коми розміщено 30 нулів.

В розрядній сітці (рис.10.1а) можуть бути представлені числа в діапазоні від – (1-2^-31) до – 2^-31 і від + 2^-31 до + (1-2^-31), що відповідає діапазону абсолютних десяткових чисел приблизно від (1-10^-9) до (10^-9). Числа х < 2^-31 не можуть бути представлені в розрядній сітці і приймаються рівними 0 (число виходить за розрядну сітку вправо). Всі числа х >=1 також не можуть бути представлені в прийнятній розрядній сітці.

Таке число виходить за межі сітки вліво (відбувається переповнення розрядної сітки) і його старші розряди (розряди зліва від коми) втрачаються а результат обчислення виявляється неправильним. Тому зазвичай, якщо при виконанні певної програми виконується переповнення в арифметично-логічному пристрої формується сигнал, який фіксується в відповідному тригері та повідомляє операційну систему про наявність переповнення.

Якщо кома зафіксована праворуч від молодшого розряду, розрядна сітка (рис. 10.1б) дозволяє представляти додатні та від’ємні цілі війкові числа модуль яких 1 < =Х < = 2^-31 –1, що відповідає діапазону абсолютних війкових чисел приблизно від 1до 10⁹, а також 0.

При виконанні на комп’ютері обчислень необхідно, щоб всі вихідні та отримувані в процесі

обчислень проміжні і кінцеві дані не виходили за діапазон чисел, які можуть бути представлені в цій розрядній сітці. В іншому випадку в обчисленнях можуть виникнути помилки. Для цього під час написання програм дані, що задіяні в обчисленнях, беруться з відповідними масштабними коефіцієнтами.

Комп’ютери, які опрацьовують числа в форматі з фіксованою комою, є простішими та швидшими порівняно з комп’ютерами, які опрацьовують числа в форматі з рухомою комою, але в них можливе виникнення проблем через потребу передбачення переповнення. Перші комп’ютери опрацьовували дані з фіксованою комою, причому причому кома, як правило фіксувалась перед старшим розрядом. Зараз представлення чисел з фіксованою комою використовується як єдине ціле в порівняно невеликих за своїми обчисленнями можливостями комп’ютерах, які використовуються для управління технологічними процесами та опрацювання вимірювальної інформації в реальному часу.

В комп’ютерах, призначених для вирішення широкого кола обчислювальних задач, основним є представлення чисел з рухомою комою, яке не вимагає масштабування даних.

Однак у таких комп’ютерах. Крім представлення чисел в цьому форматі, часто використовується представлення з фіксованою комою, оскільки на виконання операцій з такими числами витрачається менше часу. При цьому в більшості випадків формат чисел із фіксованою комою слугує для представлення цілих двійкових чисел (кома ставиться праворуч від молодшого розряду числа) та виконання операцій над ними, що зокрема, необхідно для операцій над кодами адрес (операції індексної арифметики).

Розглянемо основні формати чисел із фіксованою комою, що використовуються у сучасних комп’ютерах, та діапазони представлення в них чисел (таб.1)

Числа із рухомою комою.

Для однозначного і максимально точного відображення чисел з рухомою комою представляють в нормалізованому вигляді. Якщо виконується нерівність q-1< = m < 1 а у випадку війкової системи числення 0,5 < = м < 1(старший двійковий розряд мантиси дорівнює 1), то вважається, що число представлене в нормалізованому вигляді. Таким чином у двійкового нормалізованого числа у форматі з рухомою комою мантиса є правильним дробом і у старшому розряді мантиси завжди стоїть 1. Нормалізація чисел у комп’ютері виконується або апаратно або ж спеціальною програмою. Для цієї мети виділяється:

Ø по одному розряду для представлення знаку числа Sm і знаку порядку Sp;

Ø певне число розрядів для представлення значення порядку р;

Ø розряди для представлення модуля мантиси.

Наприклад можливий такий варіант коли формат числа складається з чотирьох полів.

Основною перевагою представлення чисел у форматі з рухомою комою є великий діапазон машинних чисел і висока точність їх подання. Діапазон визначається довжиною розрядної сітки, виділеної для характеристики, а точність визначається довжиною розрядної сітки, виділеної для мантиси.

Особливості виконання операцій над числами з рухомою комою:

Ø збільшення мантиси у 2 рази здійснюється зсувом двійкового значення мантиси ліворуч (у бік старших розрядів);

Ø зменшення мантиси у 2 рази здійснюється зсувом двійкового значення мантиси праворуч (у бік молодших розрядів);

Ø величина числа не зміниться, якщо збільшити мантису в 2 рази і одночасно зменшити порядок на 1;

Ø величина числа не зміниться, якщо зменшити мантису в 2 рази і одночасно збільшити порядок на 1.

Тобто формат з рухомою комою має недолік, який полягає в відсутності унікального представлення для кожного числа. Під час арифметичних операцій над числами з рухомою комою виконуються дії як над порядком так і над мантисою.