Розділення неоднорідних газових систем в полі сил тяжіння

Фізична модель

Якщо тверду сферичну частину розмістити в газовому середовищі, то її рух відбувається під дією таких сил, рис. 2.1:

- сили тяжіння G, прикладеної до центра мас і направленої вертикально вниз;

- сили Архімеда А, прикладеної до центра мас і направленої вертикально вгору;

- сили тертя S, прикладеної до поверхні частинки і направленої вертикально вверх, в сторону, протилежну напрямку вектора швидкості осідання.

Рис. 2.1. Схема дії сил на тверду частинку при осіданні під дією сил тяжіння:

Проекція цих сил на вісь Y:

SY:G – A – S = R (2.1)

Якщо R>0, то частинка рухається рівноприскорено;

Якщо R=0, то частинка рухається рівномірно (ламінарний режим);

Якщо R<0, цього випадку не може бути при наявності нерухомого газового середовища;

Виразимо ці сили. Силу тяжіння, як:

(2.2)

Позначимо l – визначальний розмір. Для сферичної частинки l = d.

Cилу Архімеда:

(2.3)

Силу тертя:

(2.4)

де F – поверхня частинки і, відповідно, для сферичної частинки

(2.5)

Рівнодійна сила в загальному випадку, ґрунтуючись на другому законі Ньютона, запишеться:

(2.6)

Виконавши підстановку виразів (2.2)-(2.4) до рівняння (2.1), одержимо:

(2.7)

Це диференційне рівняння осадження частинки під дією сили тяжіння.

З метою одержання критеріального рівняння для інженерних розрахунків поділимо всі члени рівняння (2.7) на праву частину:

(2.8)

Помножимо всі члени рівняння (2.8) на безрозмірний комплекс відношення густини частинки та газу :

(2.9)

Розглянемо другий доданок. Згідно теорії подібності вилучаємо символи диференціювання, і, виконавши відповідні перетворення, виразивши , одержимо:

(2.10)

Тобто отримуємо критерій Re. Постійна залежить тільки від форми частинок і називається коефіцієнтом форми

Перший доданок рівняння (2.9) домножимо на l/l, враховуючи те, що l/ t=w:

. (2.11)

Помножимо тепер вираз (2.11) на Re²:

(2.12)

Вираз (2.12) є число Архімеда.

Тоді запишемо критеріальну залежність в загальному вигляді:

,

де - фактор форми,

F_сф – поверхня сферичної частинки, F = pD_cф²

F_м – поверхня даної частинки, F = pD_е², , .

Постійні A і n знайдені дослідним шляхом. А саме:

- при ламінарному режимі осадження частинок, якщо

Re < 1,85 або jAr < 33, то число Рейнольдса розраховується за виразом:

; (2.13)

- при турбулентному режимі осадження, якщо

Re >500 або jAr > 83000, тоді

(2.14)

при перехідному режимі осадження, якщо

1,85 < Re <500, 33 <jAr < 83000,

Re=0,152(jAr)^{0, 715}. (2.15)

Порядок розрахунку швидкості осадження в полі сил тяжіння:

1. Визначаємо критерій Ar:

(2.16)

2.Розраховуємо критерій Re.

3. Розраховуємо швидкість осадження:

, (2.17)

Практично для частинок форми кулі коефіцієнт форми ψ=1, для округлої форми ψ=0,77, для форми куба ψ=0,66, для продовгуватої форми ψ=0,58, для пластинчатої ψ=0,43.

Швидкість частинок сферичної форми з ψ=1 при ламінарному осадженні (діаметр частинок < 100мкм) можна розрахувати із залежності:

;

підставивши відповідні значення, одержимо:

Тоді швидкість осадження розраховується за виразом:

(2.18)

З іншої сторони для ламінарного руху при R = 0 рівняння (2.1) набуває вигляду:

G – A – S = 0 або G – A = S, (2.19)

де S = 3pdw_ocm – сила Стокса.

Тоді рівняння (2.19) набуває виду:

,

звідки

(2.20)

Тобто, рівняння (2.18) і (2.20) є ідентичними, що відповідає фізичній сутності процесу.