Геометрический, механический, экономический смыл производной

Пусть y=f(x) непрерывная функция от х. Дадим аргументу х приращение , тогда функция y получит приращение . Составим отношение . Это отношение есть некоторая функция от . Может случиться, что эта функция имеет предел при , т.е. существует

.

Этот предел называется производной от данной функции y и обычно обозначается через или . .

Отсюда вытекает такое определение:

Производной функции называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.

Обозначение ввел Лагранж,

Лейбниц, Ньютон.

Геометрический смысл производной: для данной функции y=f(x) ее производная для каждого значения х равна угловому коэффициенту касательной к графику функции в соответствующей точке.

.

Физический смысл производной: для функции , меняющейся со временем t, производная есть скорость изменения функции S в данный момент t.

.

Экономический смысл производной: пусть предприятие выпускает однородную продукцию. Тогда издержки производства y можно считать функцией количества выпускаемой продукции x, y=f(x).

Предположим, что количество выпускаемой продукции изменилось на , тогда издержки производства изменяются на .

.

Разделим приращение издержек производства на приращение выпускаемой продукции

(1).

Это равенство выражает среднее приращение издержек производства на единицу приращенной продукции, перейдем к пределy:

.

Этот предел в экономике называется предельными издержками производства.