Консервативні сили. Потенціальна енергія

Якщо деяка величина в кожній точці простору має певне значення, то існує поле цієї фізичної величини. Поле називається скалярним, якщо дана фізична величина є скалярною, векторна фізична величина характеризується векторним полем. Якщо в кожній точці простору на частинку діє певна сила, це значить, що частинка знаходиться в силовому полі. Розрізняють два види силових полів – поле консервативних сил і поле неконсервативних сил. Система тіл називається консервативною, якщо між тілами системи діють сили, що залежать лише від відстані між взаємодіючими тілами. Таким чином, для поля консервативних сил справедливо співвідношення: . Поле сил, що мають такі властивості, називається центральним. Прикладом центральної (консервативної) сили є сила тяжіння:

Якщо в усіх точках поля сили, що діють на частинку, однакові за величиною і напрямком (), поле називається однорідним. Поле, що не змінюється з часом, називається стаціонарним.

Для визначення консервативного силового поля часто використовують властивості цих сил. Сила , що діє на матеріальну точку, називається консервативною, якщо робота , що здійснюється цією силою при переміщенні тіла із положення (1) в положення (2) не залежить від того, по якій траєкторії відбувається дане переміщення (рис. 1.57), а залежить лише від початкового і кінцевого положення тіла. Тобто

(1.120)

Отже, інтеграли в (1.120) не залежать від шляху інтегрування. Із останньої рівності можна отримати вираз для роботи консервативної сили по замкненому шляху:

(1.121)

Таким чином, робота консервативної сили по переміщенню тіла по замкненій траєкторії L = 1→a→2→b→1 тотожно рівна нулю:

(1.122)

Інтеграл в рівнянні (1.122) називається циркуляцією вектора .

Таким чином, консервативні сили можна визначити двома способами:

1) як сили, робота яких не залежить від шляху, по якому тіло переходить із одного положення в інше;

2) як сили, робота яких на будь-якому замкнутому шляху рівна нулю.

Консервативними силами є сили тяжіння, сили пружності, сили електростатичного походження, оскільки їхня робота не залежить від форми шляху. Навпаки, сили тертя та опору не є консервативними. Такі сили називають дисипативними.

Вираз (1.122) означає, що якщо тіло знаходиться у потенціальному силовому полі, то робота сил поля не залежить від форми траєкторії, а є функцією лише початкового і кінцевого положення (координати) тіла, тобто існує однозначна функція координат , причому:

(1.123)

Функцію називають потенціальною енергією. Знак «−» означає, що, якщо поле здійснює роботу над тілом, то його енергія зменшується.

Інтегрування рівняння (1.123) призводить до виразу:

(1.124)

Таким чином, робота, виконана полем консервативних сил, рівна зміні потенціальної енергії. Величина потенціальної енергії в даній точці поля може бути визначена з точністю до постійної інтегрування, тобто:

(1.125)

Тому практичний зміст має не значення потенціальної енергії в даній точці поля, а різниця потенціальних енергій двох точок поля.

Знайдемо зв’язок сили з потенціальною енергією.

(1.126)

(1.127)

Вираз:

(1.128)

означає повний диференціал потенціальної енергії.

Вектор сили визначається:

(1.129)

Вектор у дужках в рівнянні (1.129) називається градієнтом скалярної функції U (x, y, z), тобто:

(1.130)

З врахуванням співвідношення (1.127) рівняння (1.126) можна записати:

(1.131)

З допомогою виразу (1.131) можна визначити силу в будь-якій точці поля, якщо відома потенціальна функція.