Метод крутого восхождения. Движение по градиенту

После вывода уравнения регрессии с помощью постановки полного или дробного факторного эксперимента у экспериментатора может возникнуть следующий вопрос: можно ли оптимизировать полученную функцию отклика, т.е. добиться такого сочетания факторов, при котором полученная функция принимала бы оптимальные значения?

Для поиска оптимальных условий в планировании экстремальных экспериментов широко применяется метод крутого восхождения по поверхности отклика в направлении градиента линейного приближения, который определяется реализацией плана полного или дробного факторного эксперимента.

Пример 8.6. Представим, что человек с закрытыми глазами хочет пройти кратчайшим путем к вершине горы. Он будет делать шаги в разные стороны, чтобы определить направление движения. Достигнув вершины, человек должен оценить ее крутизну, сделав поочередно по шагу во все четыре стороны.

Градиент функции отклика есть вектор:

(6.15)

или

,

где grad - обозначение градиента; - частная производная фукнции по i -фактору; i, j, … k - единичные векторы в направлении осей факторного пространства.

Следовательно, составляющие градиента являются частными производными функции отклика. В случае, если модель линейна по параметрам, частные производные равны коэффициентам регрессии при факторах. Для движения по градиенту необходимо изменять факторы пропорционально соответствующим коэффициентам регрессии и в ту сторону, в которую указывает знак коэффициентов.

Рассмотрим простейший случай для одного фактора. Пусть регрессионная модель имеет вид:

Градиент этой функции в точке x в соответствии с формулой можно записать так:

В начале координат (в точке x =0) , т.е. вектор-градиент функции имеет длину, равную абсолютному значению коэффициента b₁. На рис.6.6 представлена графическая иллюстрация вектора-градиента для этого случая.

y

В

O A

I

-1 0 +1

Рис.8.6. Расчет координат точек