Принципи та основні етапи математичного моделювання

Математичне моделювання – це метод дослідження процесів, об’єктів, систем, який базується на побудові та дослідженні математичних моделей.

Математична модель – система математичних та логіко – математичних співвідношень, які описують реальну систему (об’єкт, процес, явище) і призначеня для визначення їх кількісних та якісних характеристик.

Математичні моделі відрізняються великим різноманіттям. Всі математичні моделі можна поділити на аналітичні та алгоритмічні.

Аналітична модель представляє систему математичних співвідношень у вигляді аналітичних (формульних) залежностей, рівнянь та нерівностей. Якщо аналітичний опис об’єкта виконати неможливо або він непридатний для досліджень, то створюють алгоритмічну модель і, як правило, з наступною реалізацією у вигляді програми для ЕОМ. В результаті отримують машинну модель, яка відображає структуру і поведінку системи, її компонентів та взаємодію між ними. Виконання програми дозволяє імітувати динамімні процеси в системі, що моделюється. Кожний акт відтворення процесу функціонування системи за допомогою моделюючої програми з наступною реєстрацією отриманих даних називають імітаційним експериментом. На відміну від натурних експериментів, можлива така організація імітаційних експериментів, яка забезпечує суттєве використання інформації про внутрішню будову машинної моделі і враховує особливості її функціонування. Сьогодні машинне моделювання (машинна імітація) – це визнаний науковий метод вивчення, дослідження складних процесів та систем.

Головною перевагою математичних моделей є висока ступінь їх універсальності, можливість дослідження будь-яких процесів та пошука рішень дослідних задач. Математичну модель складної системи можливо побудувати:

· до того, як буде створена (синтезована) складна система з метою оцінювання її майбутніх характеристик та оптимізації системи;

· на етапі побудови системи для дослідження можливих варіантів;

· після побудови та впровадження системи з метою оцінювання ефективності її використання за призначенням та визначення напрямків подальшого удосконалення.

В процесі побудови математичної моделі необхідно враховувати такі принципи моделювання:

а) принцип адекватності моделі і оригіналу. Він передбачає відповідність моделі поставленій меті дослідження;

б) принцип абстрагування від другорядних деталей та факторів. Модель має описувати лише найсуттєвіші властивості оригіналу відносно поставленої мети та має бути простішою за нього. Тому при побудові моделі намагаються досягти її спрощення, зберігаючи при цьому суттєві властивості досліджуваної системи;

в) принцип досягнення компромісу між бажаною точністю результатів моделювання та складністю моделі.

Побудову математичної моделі можна здійснювати двома шляхами:

· абстрактний шлях – спочатку будується гіпотетична модель, яка потім наповнюється конкретним змістом, тобто будується оригінальна модель;

· шлях аналогії – використовуються типові моделі для опису системи або на базі типових моделей розробляють нову модель.

Етапи моделювання представлені на рис. 12.

Рис. 12

Розглянуті етапи рідко виконуються в заданій послідовності, тобто процес моделювання є, як правило, ітеративним. На будь якому з етапів можливе повернення до попередніх етапів, оскільки модель може виявитись надто складною або суперечливою, виявитись помилкові припущення чи бракуватиме необхідної інформації, буде проводитись зміна цілей дослідження, проявиться неадекватність моделі або її недостатня точність.

Сьогодні майже у всіх областях діяльності людини метод моделювання використовується як обов’язковий елемент процесів обґрунтування розробки, випробовувань та впровадження в експлуатацію складних систем, а також для вивчення та дослідження систем різної природи.