Даны уравнения плоскостей и , а также уравнения прямых и . Определить

а) взаимное расположение плоскостей и , найти угол между ними;

б) взаимное расположение прямых и и угол между ними;

в) взаимное расположение прямой и плоскости , найти угол между ними. В том случае, если прямая и плоскость параллельны, найти расстояние между и ; в случае, если прямая и плоскость пересекаются (в частности перпендикулярны) – найти точку их пересечения.

Решение

а) Запишем координаты векторов нормали и соответственно плоскостей и (коэффициенты при переменных в уравнениях данных плоскостей)

; .

Определим взаимное расположение векторов и , т.к. если , то , если , то , иначе .

координаты векторов нормали заданных плоскостей не пропорциональны, следовательно, и не параллельны,

скалярное произведение векторов нормали заданных плоскостей не равно нулю, следовательно, и не перпендикулярны, таким образом, плоскости пересекаются под углом j по прямой .

Найдем угол j между плоскостями и

Þ .

Ответ: , .

б) Запишем координаты направляющих векторов и соответственно прямых и (знаменатели в уравнениях данных прямых)

; .

Определим взаимное расположение векторов и , т.к. если , то , если , то , иначе и либо пересекающиеся, либо скрещивающиеся.

координаты направляющих векторов заданных прямых не пропорциональны, следовательно, и не параллельны,

скалярное произведение направляющих векторов заданных прямых не равно нулю, следовательно, и не перпендикулярны, таким образом, прямые либо пересекающиеся, либо скрещивающиеся.

Если векторы , и (, ) – компланарны, то и – пересекающиеся прямые, иначе и – скрещивающиеся.

Из уравнений прямых и находим

, ,

откуда

.

Найдем определитель, составленный из координат , , ,

,

поскольку , то векторы , и являются компланарными, значит прямые и пересекаются под углом y.

Найдем угол y между прямыми и

Þ .

Ответ: и пересекаются, .

в) Выше было определено

, .

Исследуем взаимное расположение векторов и , т.к. если , то , если , то , иначе .

координаты векторов заданных прямой и плоскости не пропорциональны, следовательно, и не перпендикулярны,

скалярное произведение векторов заданных прямой и плоскости равно нулю, следовательно, и параллельны, т.е. .

Найдем расстояние между прямой и плоскостью . Для этого возьмем точку и найдем расстояние от точки до плоскости по формуле (5.12)

.

Ответ: , , .