в примерах на EXCEL 4 страница

Если ограничение типа неравенства выполняется, то h(X₁,X₂,..., Xn) больше нуля, т.е. знаковая функция равна 1 и выражение в фигурных скобках равно нулю. В противном случае это выражение равно2, а значит второе слагаемое штрафной функции больше нуля и при умножении на коэффициент штрафа сильно увеличивает значение расширенной целевой функции. Таким образом, эта формула обеспечивает выполнение условий, наложенных на штрафную функцию. Если ограничений любого вида несколько, то для каждого из низ записываются аналогичные формулы и все они суммируются.

Доказано, что если минимум f лежит внутри разрешенной области, то минимумы R и f совпадают. В противном случае минимум R лежит снаружи вблизи границ разрешенной области. Поэтому этот метод называют иногда методом внешних штрафных функций.

Наибольшую трудность при применении этого метода вызывает выбор значения коэффициента штрафа В, который, по существу, определяет “вес” штрафной функции по сравнению с исходной целевой функцией. Нельзя сразу задать величину В очень большой, например, В=1000000, т.к. в этом случае “вес” штрафной функции намного превышает “вес” целевой функции и компьютер найдет минимум не функции f, а функции s. Поэтому используется следующий итерационный алгоритм.

Положим В=1. Из точки начального приближения методом покоординатного спуска (или любым другим прямым методом поиска, т.к. знаковая функция не дифференцируема) начнем искать минимум расширенной целевой функции. Когда на каком-либо шаге покоординатного спуска модуль штрафной функции уменьшится приблизительно на порядок, увеличим величину коэффициента штрафа В на два порядка и продолжим поиск минимума расширенной целевой функции. Этот прием следует использовать до тех пор, пока модуль штрафной функции не станет меньше заданной точности Е.

Формальной проверкой правильности решения может служить близость полученных значений Х-ов к границе допустимой области ограничений, причем с внешней стороны.

Пример 5.3.

Решим задачу примера 5.1 методом штрафных функций. Как известно, координаты точки минимума есть (1;1). Введем ограничение типа неравенства (Х₁²+Х₂²)<= 0,64. Это означает, что решение может находиться лишь внутри окружности с центром в начале координат и радиусом, равным 0,8. Таким образом, настоящий минимум лежит в запрещенной области и решение должно быть близко к окружности, определяемой ограничением, причем с внешней стороны.

Прежде всего перепишем формулу неравенства в каноническом виде

0,64 -(Х₁²+Х₂²) >= 0.

Вернемся к рабочему листу EXCEL, на котором проведено решение примера 5.1 методом покоординатного спуска. Там столбцы А и В отведены под независимые переменные, столбец С - под функцию f, столбец D - под значения погрешности D. Проведем подготовительный этап для метода штрафных функций. Для этого выделим блок А5:D17 и уничтожим его содержимое, нажав на клавиатуре клавишу “Delete”. В ячейку D3 занесем формулу = 0,64-(A3^2+B3^2), в ячейку Е3 - формулу =D3^2*(1- ЗНАК(D3)), где функция ЗНАК соответствует знаковой функции sign. Если теперь в ячейку F3 занести 1, то в ячейке G3 можно сформировать формулу расширенной целевой функции =C3+F3*G3. На этом подготовительный этап заканчивается.

1 итерация. Скопируем формулы блока С3:G3 в блок С4: G30. Следует заметить, что заранее неизвестно, сколько итераций потребуется для получения решения. Поэтому может случиться, что формулы из 3 строки придется скопировать и ниже 30 строки. Сделаем ячейку А4 пустой, а в ячейку В4 занесем 0,5. Теперь определим ячейку G4 текущей и проведем первый шаг метода покоординатного спуска так, как это описано в примере 6.1. Продолжим шаги метода покоординатного спуска до тех пор, пока модуль чисел в столбце Е не уменьшится на порядок по сравнению с числом в ячейке Е3.

2 итерация. Изменим значение величины коэффициента штрафа, занеся число 100 в соответствующую ячейку столбца F, и вновь продолжим покоординатный спуск до тех пор, пока модуль чисел в столбце Е снова не уменьшится еще на порядок.

После этого следует опять увеличить В на два порядка и так до тех пор, пока какое-нибудь число в строке Е не станет меньше по модулю заданного значения Е. Числа в соответствующей строке в столбцах А и В и есть координаты точки минимума.

5.5. Условная оптимизация: подпрограмма EXCEL “Поиск решения”.

Подпрограмма Поиск решения имеет модификацию методов сопряженных градиентов и Ньютона для решения задач условной оптимизации. Следует отметить, что эта модификация работает успешно лишь для некоторых видов целевой функции - линейной и квадратичной и лишь для некоторых видов ограничений, например, типа шара, координатного параллелепипеда, гиперплоскости или полиэдра. После вызова подпрограммы командой меню Сервис- Поиск решения появляется диалог, в котором кроме уже знакомых Вам полей Установить целевую ячейку и Изменяя ячейки, следует обратить внимание на поле Ограничения и кнопки управления ограничениями Добавить, Изменить и Удалить. Например, чтобы задать новое ограничение следует щелкнуть по кнопке Добавить. В открывшемся новом диалоге Добавить ограничение нужно внести адрес одной или блока ячеек в поле Ссылка на ячейку, а затем указать тип ограничения и его условия. После этого нужно щелкнуть по кнопке ОК. Работа с другими кнопками управления не вызывает затруднений.

Выбор параметров подпрограммы вызывается щелчком по кнопке Параметры. Работа с открывшемся диалогом описана в п.5.3.

Продемонстрируем работу подпрограммы решением задачи примера 5.4.

Выделим ячейку А35 под переменную Х₁, ячейку В35 - под Х₂, в ячейку С35 запишем формулу целевой функции в обозначениях EXCEL

=(B35-A35^2)^2+(1- A35)^2, в ячейку D35 запишем формулу ограничений

=0,68 - (A35^2+B35^2). Сделаем ячейку С35 текущей и дадим команду меню Сервис- Поиск решения. В открывшемся диалоге в поле Установить целевую ячейку занесем адрес С35, в поле Изменяя ячейки - адрес блока А35:В35. Теперь щелкнем по кнопке Добавить и в открывшемся новом диалоге в поле Ссылка на ячейку занесем адрес D35, выберем вид ограничения >= и правую часть ограничения - 0 (ноль). Щелкнув по кнопке ОК, вернемся к первоначальному диалогу.

Далее щелкнем по кнопке Параметры и выберем следующие переключатели: оценка - квадратичная, производные - прямые, метод - сопряженных градиентов. Щелкнув по кнопке Выполнить получим новый диалог Результаты поиска решения, в котором щелкнем по кнопке ОК. Результаты расчетов представлены в таблице. Особый интерес вызывает числовое значение в ячейке D35. Оно очень близко к нулю, но все же отрицательно, т.е. независимые переменные находятся в запрещенной области.

5.6. Условная оптимизация: линейное программирование.

В общем случае задача линейного программирования формулируется следующим образом: найти величины X₁, …, X_n, при которых достигается экстремум (максимум или минимум) линейной целевой функции

u = a₁X₁ + a₂X₂ + … + a_nX_n

и удовлетворяется система ограничений вида

c_i1X₁+ … + c_in X_n <= b_i,

c_k1X₁+ … + c_kn X_n = b_k,

c_p1X₁+ … + c_pn X_n >= b_p, где i # k # p.

На практике часто встречаются условия неотрицательности всех или части переменных

X_j >= 0, j = 1,2,…, s,

которые выделяют в особую группу.

Для решения задачи линейного программирования разработан специальный метод, названный симплекс – методом. Этот метод реализован в EXCEL в подпрограмме Поиск решения. В случае правильного решения задачи EXCEL печатает сообщение “Решение найдено. Все ограничения и условия оптимальности выполнены ”. Если коэффициенты системы ограничений таковы, что эта система несовместна, то появится сообщение “Поиск не может найти подходящего решения ”. Если же система ограничений такова, что область допустимых решений не ограничена сверху при поиске максимума (или снизу при поиске минимума), то будет напечатано “Значения целевой ячейки не сходятся ”.

Задача линейного программирования является достаточно распространенной задачей условной оптимизации, особенно в экономике. Решение этой задачи рассмотрим на примере задачи распределения ресурсов.

Пример 5.4.

Пусть некоторое предприятие может изготавливать изделия 4 типов. Для изготовления изделий требуются ресурсы 3 видов: трудовые ресурсы, сырье и финансы. Количество ресурса каждого вида, необходимое для выпуска одной единицы изделия каждого типа, называется нормой расхода. Пусть все нормы расхода известны и приведены в таблице

ресурсы	изделие1	изделие2	изделие3	изделие4
трудовые
сырье
финансы

Пусть известна также прибыль, получаемая от реализации каждого типа изделия

	изделие1	изделие2	изделие3	изделие4
прибыль

и располагаемое количество ресурсов

ресурсы	наличие
трудовые
сырье
финансы

Необходимо найти такие количества изделий каждого типа, чтобы прибыль предприятия была максимальной.

Введем некоторые обозначения.

Пусть

а_j - прибыль, получаемая от реализации единицы изделия j-го типа,

b_i - располагаемое количество i-го ресурса,

с_ij - норма расхода i-го ресурса для изготовления единицы j-го изделия,

xj - неизвестное количество изделий j-го типа.

Целевую функцию - суммарную величину прибыли предприятия - можно записать так

u = а₁x₁+а₂x₂+а₃x₃+а₄x₄ Þ max.

Зная нормы расхода и располагаемое количество каждого ресурса, можно составить систему ограничений:

c₁₁x₁+c₁₂x₂+c₁₃x₃+c₁₄x₄ <= b₁

c₂₁x₁+c₂₂x₂+c₂₃x₃+c₂₄x₄ <= b₂

c₃₁x₁+c₃₂x₂+c₃₃x₃+c₃₄x₄<= b₃

Следует добавить также граничные условия из содержания задачи

x₁>=0, x₂>=0, x₃>=0, x₄>=0.

Для нашего примера

критерий оптимизации (целевая функция):

u = 60 x₁+70 x₂+120 x₃+130 x₄ Þ max

ограничения

x₁+ x₂+ x₃+ x₄<=16

6 x₁+5 x₂+4 x₃+3 x₄<=110

4 x₁+6 x₂+10 x₃+13 x₄<=100

граничные условия

x₁>=0, x₂>=0, x₃>=0, x₄>=0.

Откроем новый рабочий лист и подготовим его к решению задачи. Внесем исходные данные так, как это показано на рисунке.

Теперь надо подготовить таблицы, связанные с решением задачи, ячейки для целевой функции и ограничений

Далее внесем необходимые формулы для расчета:

ячейка	формула
D19	=CУММПРОИЗВ(В18:Е18;В10:Е10)
A22	=CУММПРОИЗВ(В18:Е18;В5:Е5)
A23	=CУММПРОИЗВ(В18:Е18;В6:Е6)
A24	=CУММПРОИЗВ(В18:Е18;В7:Е7)
A25	=B18
A26	=C18
A27	=D18
A28	=E18

После этого вызовем подпрограмму Сервис - Поиск решения. В появившемся диалоге внесем в окно Установить целевую ячейку адрес D19, в окно Изменяя ячейки адреса блока В18:Е18. Если в окне Ограничения оставлены какие-либо формулы от решения предыдущей задачи, их следует удалить по одному, выделяя каждое мышью и нажимая мышью кнопку Удалить. Затем следует внести нужные нам ограничения по одному, нажимая мышью кнопку Добавить. Каждый раз будет появляться новое диалоговое окно. Для первого ограничения в окно Ссылка на ячейку следует внести адрес А22, знак ограничения выбрать мышью из ниспадающего списка, а в правое окно занести адрес С22. Затем щелкнуть по кнопке Добавить и продолжить внесение ограничений.. Закончив ввод ограничений, щелкнем по кнопке ОКи снова попадем в окно Поиск решения.

Теперь щелкнем по кнопке Параметры. В открывшемся диалоге надо включить параметр Линейная модель. Щелкнув по кнопке ОК, возвратимся в окно Поиск решения.

Проверим, что переключатель указывает на поиск максимального значения и щелкнем по кнопке Выполнить. Появится новое диалоговое окно Результаты поиска решения. Если все формулы и ограничения были внесены правильно, то в этом окне будет написано “Решение найдено, Все ограничения и условия оптимальности выполнены”. Щелкнем по кнопке ОК и перейдем к анализу решения. Если же появится надпись “Поиск не может найти подходящего решения”, то щелкнем по кнопке Отмена и проверим правильность внесения исходных данных.

Результаты решения задачи нашего примера приведены в таблице

	изделие1	изделие2	изделие3	изделие4
кол-во

Значение целевой функции = 1320.

Анализ задачи линейного программирования на устойчивость и по пределам, который обычно проводят после получения решения, выходит за рамки данного пособия.

6. МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ.

Пусть требуется исследовать зависимость Y=f(X), причем величины X и Y получены экспериментально, в одних и тех же экспериментах. Обычно считают, что величины Х измеряются точно, в то время как измерение величин Y содержит случайные ошибки. Это означает, что погрешность измерения Х пренебрежимо мала по сравнению с погрешностью измерения Y. Задача состоит в установлении функциональной зависимости Y = f(X) по результатам измерений (Xi,Yi), где i = 1,2,...,n.

Пусть функция f(X) может быть представлена в виде f(X,a₁,a₂,...,a_k), где a₁,a₂,...,a_k - неизвестные параметры. Тогда результаты измерений можно представить как

Y_i = f(X_i,a₁,a₂,...,a_k)+c_i,

где c_i - случайные величины, характеризующие погрешности эксперимента. Обычно предполагают, что они - независимые нормально распределенные с нулевым математическим ожиданием и одинаковыми дисперсиями.

Задача состоит в том, чтобы по опытным данным наилучшим образом определить значения параметров a_k. При этом в методе наименьших квадратов считается, что наилучшими будут те значения параметров a_k, при которых сумма квадратов отклонений расчетных величин Y от экспериментальных окажется наименьшей, т.е.

S = S_i (f(X_i,a₁,a₂,...,a_k)- Y_i)² Þ min.

На практике метод наименьших квадратов состоит из трех этапов.

1 этап. Выдвигают гипотезу о виде функции f(X_i,a₁,a₂,...,a_k). Она должна быть линейна относительно параметров. Например, функция

a₀+a₁X_i+a₂ X_i²+....+ a_k X_i^k

линейна по параметрам a_k, т.к. любая функция, на которую умножается любой параметр, полностью вычисляется по экспериментальным данным и не зависит от параметров.

2 этап. По имеющимся экспериментальным данным определяют численные оценки параметров. Для отыскания минимума функции S нужно приравнять нулю ее частные производные по параметрам

dS/da₀= 0

dS/da₁= 0

..............

dS/da_k = 0

Если f(X_i,a₁,a₂,...,a_k) линейна по параметрам, то полученная в результате дифференцирования система уравнений является системой линейных алгебраических уравнений. Решая ее методами, описанными, например, в разделе 3, можно получить значения параметров.

3 этап. Проверяют выдвинутую на первом этапе гипотезу о виде функции f, т.е. насколько эта функция адекватно описывает связь экспериментальных данных (Xi,Yi). Для этого вычисляют величину

F = ss/ss_resid,

где ss - общая сумма квадратов, равная сумме квадратов разностей между экспериментальными значениями Y_i и средним значением Y, посчитанным по всем экспериментам, ss_resid - остаточная сумма квадратов, равная S_i(f(X_i,a₁,a₂,...,a_k)- Y_i)² . Вычисленное значение F сравнивают с F_табл, полученным по статистическим таблицам для критерия Фишера. Если F>F_табл, то считается что вид функции был выбран правильно, т.е. математическая модель описания эксперимента адекватна.

Иногда для проверки адекватности модели используют коэффициент детерминированности r², который изменяется в пределах от 0 до1. Если он равен 1, то выбранная модель абсолютно адекватна экспериментальным данным; если он равен 0, то никакой связи между экспериментом и выбранной моделью нет. Обычно по степени близости r² к 1 судят о мере адекватности математической модели.

Пример 6.1.

Аппроксимировать полиномами первой и второй степени по методу наименьших квадратов экспериментальные данные, заданные таблицей:

EXCEL позволяет решить эту задачу несколькими способами. Рассмотрим вначале самый простой. Откроем новый рабочий лист и поместим заданные числовые данные в блок А3:В17, отведя столбец А под значения Х, а столбец В - под значения Y. Выделим блок А2:В17 и с помощью Мастера Диаграмм постоим график зависимости Y от Х, выбрав тип диаграммы - XY-точечная, формат 1. Щелкнув по кнопке Закончить на шаге 5 из 5, получим на рабочем листе диаграмму в виде 16 точек на плоскости X-Y. Поле диаграммы будет обведено черной рамкой. Поместим курсор мыши в виде стрелки внутрь поля диаграммы и дважды быстро щелкнем. Поле диаграммы станет активным, что подтверждается изменением рамки диаграммы - она будет заштрихована синей линией. Теперь надо расположить острие стрелки курсора на любую из 16 точек диаграммы и щелкнуть. Изменится цвет всех 16 точек. Дадим команду меню Вставка- Линия тренда. Откроется диалог Линия тренда. Выберем тип тренда - линейный, щелкнув на соответствующем квадратике. В этом же диалоге выберем вкладку Параметры. Сделаем активными два указателя - Показывать уравнение на диаграмме и Показывать значение R - квадрат на диаграмме. И, наконец, щелкнув по кнопке ОК, получим решение на диаграмме. Как видно, на ней не только появляется непрерывная прямая, соответствующая линейной функциональной зависимости, но и формула зависимости Y(X) с числовыми коэффициентами и значение коэффициента детерминированности.

Для аппроксимации исходных данных полиномом второго порядка нужно вновь дать команду меню Вставка-Линия тренда. В открывшемся диалоге выберем тип тренда - полиномиальный, в поле Степень - занесем число 2. Щелкнув по кнопке ОК, получим новую диаграмму с новыми формулами.

К сожалению, этот способ решения задачи дает слишком мало статистической информации и не позволяет статистически оценить адекватность модели.

Пример 6.2.

Решим задачу примера 6.1 с помощью встроенной в EXCEL функции ЛИНЕЙН. Для решения задачи нам понадобится столбец с числовыми значениями Х². Поэтому скопируем значения блока А2:А17 в блок А20:А35. В ячейку В20 занесем текст Х*Х, в ячейку В21 формулу = А21*А21 и скопируем ее в блок В22:В35. Наконец, в блок С20:С35 скопируем содержимое блока В2:В17. Таким образом, мы подготовили таблицу из 3 столбцов, в первом из которых содержатся числовые значения Х, во втором - Х², в третьем - Y.

Функция ЛИНЕЙН имеет 4 параметра, записываемых в скобках и разделяемых точкой с запятой

=ЛИНЕЙН(Р1;Р2;Р3;Р4),

где Р1 - адреса блока Y (заметьте, пожалуйста, Y, а не Х!),

Р2 - адреса блока Х,

Р3 - если вместо Р3 записано ИСТИНА, то а₀ вычисляется; если записано ЛОЖЬ - то а₀ = 0;

Р4 - если вместо Р4 записано ИСТИНА, то вычисляются всевозможные статистические параметры, если записано ЛОЖЬ - то вычисляются только коэффициенты а_к,...,а₀. Статистические параметры помещаются в таблицу вида

В этой таблице а_к,...,а₀ - коэффициенты математической модели,

SEk,...,SE₀ - значения стандартных ошибок коэффициентов математической модели,

r² - значение коэффициента детерминированности 0 < r² < 1,

SEy - значение стандартной ошибки Y,

F - расчетное значение F-критерия.

df - cтепени свободы,

SSreg - регрессионная сумма квадратов, равная разности между общей суммой квадратов и остаточной суммой квадратов,

SSresid- остаточная сумма квадратов.

Проведем сначала расчет линейной модели. Занесем ячейку F20 текст: а₁, а в ячейку G20 - текст: а₀.

В ячейку F21 введем формулу

= ЛИНЕЙН(C21:C35;A21:A35;ИСТИНА;ИСТИНА)

и выделим блок F21:G25 под итоговую статистическую таблицу. Этот блок при выделении будет покрашен в черный цвет, за исключением ячейки F21. Cделаем строку формул этой ячейки активной, при этом рядом со строкой формул появится зеленая галочка. Теперь последовательно будем нажимать клавиши клавиатуры: “Ctrl”, затем, не отпуская ее, клавишу “Shift”, затем, не отпуская уже обе, клавишу “Enter”. В результате получим заполненную таблицу статистических коэффициентов в блоке F21:G25. Обратим внимание на содержимое ячеек F23 - там хранится коэффициент детерминированности и F24 - она содержит расчетное значение F-критерия.

Проверим адекватность рассчитанной модели. Для этого надо получить табличное значение F- критерия. Воспользуемся для этого статистической функцией EXCEL, которая называется FРАСПОБР. Сделаем текущей ячейку Н24. Вызовем Мастер функций и из группы Статистические выберем FРАСПОБР. Щелкнув по кнопке Шаг>, обратимся к диалогу, в котором в поле Вероятность занесем 0,01, в поле Степени свободы 1 - занесем число 15 (общее число заданных экспериментов), в поле Степени свободы 2 - число 13 (это-df из статистической таблицы результатов, полученных для нашей модели). Если теперь щелкнуть по кнопке Закончить, то в ячейке Н24 получим F _табл. Поскольку оно много меньше числа в ячейке F24, то модель следует считать адекватной.

Перейдем к расчету квадратичной модели. Занесем в ячейки E27,F27,G27 тексты соответственно: а₂, а₁, а₀.

В ячейку Е28 введем формулу

= ЛИНЕЙН(C21:C35;A21:В35;ИСТИНА;ИСТИНА)

и выделим блок Е28:G32 под итоговую статистическую таблицу. Этот блок при выделении будет покрашен в черный цвет, за исключением ячейки Е28. Далее проделаем те же манипуляции, что и при расчете линейной модели. В результате получим статистическую таблицу.

Может вызвать недоумение содержание ячеек G30:G32. В них записано #Н/Д. Тем не менее, так и предусмотрено в EXCEL при правильной работе функции ЛИНЕЙН.

Выделим ячейку Н31 для расчета F _табл. При вызове функции FРАСПОБР изменится только число Степеней свободы 2. Оно в соответствии с полученной статистической таблицей равняется 12. Сравнив F c F _табл, увидим, что и оно гораздо больше F _табл. Поэтому и квадратичная модель статистически адекватна.

7. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ.

Формулы для приближенного вычисления определенных интегралов, называемые также квадратурными формулами, применяются очень часто. Дело в том, что для большого числа элементарных функций первообразные уже не выражаются через элементарные функции, в результате чего нельзя вычислить определенный интеграл по формуле Ньютона - Лейбница.

Для численного вычисления определенного интеграла должно быть задано:

1) формула f(X) -подынтегральной функции,

2) численные значения а- нижнего и b- верхнего пределов интегрирования,

3) численное значение Е - точности вычисления интеграла.

Общий подход к решению задачи будет следующим. Определенный интеграл I представляет собой площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой f(X), осью Х и прямыми х=а и х=b. Мы будем вычислять I, разбивая интервал от а до b на множество меньших интервалов, находя приблизительно площадь каждой малой полоски и суммируя площади этих полосок.

Разобьем интервал интегрирования на n равных частей, каждая длиной h=(b-a)/n. При этом интервал от а до b будет содержать (n+1) узлов х0,x1,..., xn. Аппроксимируя f(X) на каждом малом интервале простейшими полиномами малого порядка, можно получить различные формулы вычисления интеграла I.

Заменяя f(X) прямыми, параллельными оси Х, получим различные формулы прямоугольников. Вычисляя Y_i =f(X_i) во всех узлах и учитывая, что площадь прямоугольника равна произведению основания, которое у всех элементарных интервалов одинаковое и равно h, на высоту, которое есть Y_i, получаем

для метода прямоугольников с узлом слева

Iслева ~ h*(Y₀+Y₁+Y₂+...+Y_n-1),

для метода прямоугольников с узлом справа

Iсправа ~ h*(Y₁+Y₂+...+Y_n-1+Y_n),

для метода прямоугольников с узлом в центре

Iцентр ~ h*[f(X₀+h/2),f(X₁+h/2),....., f(X_n-1+h/2)].

Если на каждом элементарном интервале заменить f(X) на трапецию, то

для метода трапеций

Iтрапеций ~ h*(Y₀/2+Y₁+Y₂+...+Y_n-1+Y_n/2).

Наконец, заменяя трапецию на параболу, получим формулу Симпсона

для метода парабол

Iпарабол ~ (h/3)*(Y₀+4Y₁+2Y₂+4Y₃+2 Y₄...+4Y_n-1+Y_n),

причем n должно быть обязательно четным.

Все эти формулы вычисляют интеграл приближенно. Для оценки погрешности, возникающей при этих расчетах, используется правило двойного пересчета: вычисляют интеграл по выбранной квадратурной формуле дважды - сначала с некоторым шагом h, затем с шагом h/2, т.е. удваивают число n. Обозначив результаты вычислений через I_n и I_2n, сравнивают их по модулю. Если çI_n - I_2nç < E, то полагают I ~I_2n. В противном случае расчет повторяют с шагом h/4. В качестве начальной величины шага можно рекомендовать число, близкое к Е^(1/4), учитывая что Е всегда меньше 1.