Пример 3. Решение: Заметим, что интегрант задачи не зависит явно от

.

Решение: Заметим, что интегрант задачи не зависит явно от . Поэтому имеет место интеграл энергии:

.

Тогда

.

Так как на концах отрезка интегрирования функция принимает положительные значения, то перед квадратным корнем следует взять знак «плюс». Из краевых условий найдем константы : . Получаем единственную допустимую экстремаль . Заметим, что .

Возьмем произвольную допустимую функцию

.

Рассмотрим разность

.

Так как для любой допустимой функции выполнено неравенство , то найденная экстремаль доставляет в задаче абсолютный минимум.

Ответ: . ●