Среднее квадратическое отклонение для сгруппированных данных

- средний квадрат отклонений от средней или дисперсия. , среднее квадратическое отклонение от средней, где x_i – конкретное значение признака в группе для дискретных рядов и середина интервала для интервальных рядов, - среднее значение признака, f_i – численность или частота в группе.

Свойства дисперсии:

1. Если каждое значение признака изменить в к раз, то дисперсия изменится в к² раз;

2. Если каждое значение признака изменить на одно и то же число, то дисперсия не изменится

Такие характеристики вариации признака, как средняя величина и среднее квадратическое отклонение для интервальных рядов с равными интервалами, могут быть рассчитаны по способу моментов:

Среднее значение признака по способу моментов _,

Дисперсия по способу моментов ,

где А - условный нуль, равный варианте с максимальной частотой (середина интервала с максимальной частотой), h - шаг интервала, ( - середина интервала).

По характеру вариации признаки в статистике подразделяются на альтернативные, дискретные и непрерывные. К двум последним разновидностям относят количественные (числовые) признаки, для которых меры вариации представлены. Оценка вариации альтернативного признака (обладание или не обладание определенным свойством) – требует дополнительных построений. Пусть 1 – значение признака для единиц совокупности, обладающих изучаемым свойством, 0 – значение признака для единиц совокупности, необладающих изучаемым свойством, р – доля единиц, обладающих изучаемым свойством, q – доля единиц, необладающих изучаемым свойством, в результате получается зависимость , тогда среднее значение признака , а среднее квадратическое отклонение .

Рассмотрим пример: Пусть имеются следующие данные о результатах проверки качества деталей, известно, что 4% из них бракованные. Определить среднее квадратическое отклонение доли брака. Тогда:

, это означает, что среднее квадратическое отклонение доли брака составит 19,6%.

Величина коэффициента вариации говорит об однородности изучаемой совокупности, так, если вариация меньше либо равняется 33%, то совокупность считается однородной, в противном случае, следует осуществить перегруппировку. Формулы, используемые, для расчета среднего линейного отклонения – средняя арифметическая простая и взвешенная, для расчета среднего квадратического отклонения и коэффициента вариации применяется формула средней квадратической.

Для выполнения оценки влияния вариации фактора, положенного в основании группировки, на вариацию результативного признака (результата) используется правило сложения дисперсий, в котором отражена общая вариация под влиянием всех фактором на базе общей дисперсии: , систематическая вариация результата под влиянием признака-фактора, положенного в основание группировки оценивается на базе межгрупповой дисперсии: , вариация под влиянием неучтенных факторов оценивается на базе средней из внутригрупповых дисперсий: средняя из внутригрупповых: , где - внутригрупповая дисперсия показывает вариацию внутри группы и рассчитывается: . Общая дисперсия, межгрупповая и средняя из внутригрупповых связаны равенством, представляющим собой правило сложения дисперсий: .

Эмпирическое корреляционное отношение показывает по шкале Чеддока силу связи между фактором и результатом, знак перед корнем показывает направление связи. Шкала Чеддока для определения силы связи между фактором и результатом

	До 0,3	0,3-0,5	0,5-0,7	0,7-0,9	0,9-0,99
Сила связи	слабая	умеренная	Заметная	сильная	очень сильная

Из таблицы видно, что . Тесноту связи между признаками показывает эмпирический коэффициент детерминации , выраженный в процентах (часть изменений результата под влиянием фактора).

Показатели относительного рассеивания. Для характеристики меры колеблемости изучаемого признака исчисляются показатели колеблемости в относительных величинах. Они позволяют сравнивать характер рассеивания в различных распределениях (различные единицы наблюдения одного и того же признака в двух совокупностях, при различных значениях средних, при сравнении разноименных совокупностей). Расчет показателей меры относительного рассеивания осуществляют как отношение абсолютного показателя рассеивания к средней арифметической, умножаемое на 100%.

Коэффициент осцилляции отражает относительную колеблемость крайних значений признака вокруг средней .

Относительное линейное отключение характеризует долю усредненного значения признака абсолютных отклонений от средней величины .

Рассмотрим пример:

Стоимость 1 кв.м, $	Общая площадь квартир, кв.м

Определить: среднюю стоимость квадратного метра жилья, дисперсию и однородность совокупности, оценить отклонение крайних значений от средней.

Так как данные сгруппированы, а стоимость жилья – группировочный признак, используется формула средневзвешенной для расчета средней стоимости квадратного метра жилья, общая площадь квартир – частоты. Тогда:

Стоимость 1 кв.м, $	Общая площадь квартир, кв.м	Si
						134795,7721
						133939,4156
						115929,1048
						104262,0018
						15031,55135
						98282,5087
						984663,4165
Итого						1586903,771

Средняя стоимость квадратного метра жилья =1052,334$, дисперсия =246,34, а среднее квадратическое отклонение =15,69$, расчет коэффициента вариации =15% показывает однородность совокупности. Отклонение крайних значений признака от средней: .

Представленные меры вариации, средние и другие показатели описывают общие закономерности изменений в вариационных рядах как для несгруппированных, так и для сгруппированных данных.