Геометрический смысл

. Пусть . Тогда . Фиксируем , .

,

Пусть касательная плоскость к поверхности в точке .

Пусть точка , .

удовлетворяет уравнению

Геометрический смысл:

геометрически равен приращению аппликаты точки

касательной плоскости, если переменным

приданы приращения .

Если функция дифференцируема в точке , то .

БИЛЕТ 10.Неявные функции одной переменной. Теорема о существовании неявной функции.

Определение: говорят, что уравнение определяет однозначную неявную функцию в промежутке , если единств. :

Замечание:

явное задание функции: , неявное: .

Теорема (о существовании неявной функции):

Пусть:

1) определена и непрерывна в некоторой области:

,

2).

3). является строго монотонной по

Тогда существует некоторая окрестность точки , в которой

а) существует однозначная функция

б)

в) функция непрерывна в этой окрестности точки

Доказательство:

,

Строим : . Пусть функция монотонно возрастает

при фиксированном для определенности. В частности,

при

1)

2) непрерывна -окрестность точки :

, .

Рассмотрим произвольное значение

. Строим вертикальный отрезок

, .

Рассмотрим , непрерывна, имеет на концах отрезка различные знаки

,

Аналогично найдем и причем единственное соответствующее значение

. Построена однозначная функция , . Докажем непрерывность .

Фиксируем . Необходимо доказать, что , лишь только . Рассмотрим . Строим с центром в этой точке прямоугольник

, . Аналогично проделанному выше найдем , при .

Существует однозначная функция : . В силу самого построения функция непрерывна в точке .

Докажем, что непрерывна не только в точке , но и в окрестности этой точки.

Рассмотрим точку . Точка удовлетворяет всем требованиям, накладываемым в условии теоремы.

Если есть точка в точке функция тоже непрерывна. (функция та же самая в силу однозначности) непрерывна в окрестности точки .

Замечание: Теорема утверждает, что существует некоторая малая окрестность точки , в которой определена и непрерывна неявная функция , эта окрестность может быть существенно меньше исходной.

БИЛЕТ 11.Неявные функции одной переменной. Теорема о дифференцируемости неявной функции.

Определение: говорят, что уравнение определяет однозначную неявную функцию в промежутке , если единств. :

Замечание:

явное задание функции: , неявное: .

Теорема (о дифференцируемости неявной функции).

Пусть:

1) определена и непрерывна в некоторой окрестности точки .

.

2)

3) существуют и непрерывны в .

4) .

Тогда существует окрестность точки в которой

а) существует - однозначная неявная функция.

б)

в) непрерывна в этой окрестности

г) дифференцируема в этой окрестности, более того - непрерывная функция.

Доказательство:

, -непрерывна существует некоторая окрестность точки , где , сохраняет знак. Пусть для определенности . Тогда в этой новой окрестности монотонна возрастает по для фиксированного значения можно применить теорему о существовании неявной функции в некоторой окрестности точки уравнение определяет однозначную неявную функцию . новой окрестности точки . Фиксируем , где .

Но имеет в непрерывные частные производные по теореме о достаточном условии дифференцируемости, функция дифференцируема в дифференцируема и в новой найденной окрестности точки , , где при .

. Пусть (тогда и , так как непрерывная функция ).

, Существует - непрерывная функция в любой точке новой окрестности точки .

БИЛЕТ 12. Неявные функции нескольких переменных, определяемые одним уравнением и системой уравнений. Определение, теоремы о существовании (без доказательства)

в области , , если из данной области единственное значение , .

Теорема (без доказательства):

Пусть

1) определена и непрерывна в некоторой окрестности точки

2)

3) существуют и непрерывны все частные производные первого порядка: в точке

.

4). в точке

Тогда существует окрестность точки .

а) уравнение 2) определяет однозначную функцию

б)

в) - непрерывна в этой окрестности

г) существуют непрерывные частные производные в этой окрестности.

БИЛЕТ 12.

(х)

Определение: говорят, что система (х) определяет однозначных неявных функций в -мерном параллелепипеде.

Если наборе : .

Определение: данная матрица называется матрицей Якоби системы функций по переменным .

.

Определитель матрицы Якоби называется якобианом системы функций по переменным :

.

Теорема:

Пусть

1) в некоторой окрестности точки функции определены и непрерывны.

2)

3) Существуют и непрерывны частные производные 1-го порядка по всем переменным:

в этой окрестности.

Тогда существует окрестность точки

а) система уравнений (х) определяет однозначных неявных функций

б)

в) - непрерывные функции от переменных

г) ),…, )- дифференцируемы в этой окрестности.

Замечание: (2) (в) сохранили в) для единообразия.

Замечание: Во всех теоремах о существовании неявных функций утверждается лишь существование малой окрестности, в которой неявная функция определена и существует. Эта окрестность может оказаться гораздо меньше исходной.

БИЛЕТ 13. Формула Тейлора для ФМП.

Пусть есть функция . Если переменных больше, чем две, то теорема, аналогично доказанной ниже, также верна.

Теорема (Тейлора). Пусть имеет частные производные до -го порядка, непрерывные в некоторой окрестности точки . Тогда справедлива формула Тейлора:

, где в берутся в точке , , , в производные берутся в точке

, но ,

Доказательство: Рассмотрим функцию по одной переменной

, где , .

-сложная функция, зависит от через .

-линейные функции, для которых все дифференциалы порядка выше 1-го сохраняют свою форму.

Функция имеет непрерывную производную можно применить формулу Тейлора в окрестности точки

, где , .

Имеем: , ,

, где

……………….

. Таким образом,

.

Замечание: аналогично тому, что было доказано в прошлом семестре,

- остаточный член в формуле Лагранжа.

можно выписать в формуле Пьяно

, где

БИЛЕТ 14. Экстремум ФМП. Определение, теорема о необходимых условиях экстремума.

Определение: говорят, что в точке функция имеет максимум (минимум), если существует окрестность точки , для всех точек которой выполняется .

В случае строгого неравенства такой максимум (минимум) называется строгим. Точки максимума и минимума называются точками экстремума.

Теорема (о необходимом условии экстремума):

Пусть точка -точка экстремума для . Пусть функция имеет конечные частные производные 1-го порядка по всем переменным в точке . Тогда все частные производные 1-го порядка равны нулю в точке : .

Доказательство:

, -точка экстремума, пусть для определенности -точка максимума. Рассмотрим функцию одной переменной . Очевидно, что функция имеет максимум в точке по теореме Ферма . Но

.

Аналогично доказывается, что .

Замечание: Необходимое условие экстремума можно записать в виде , если -точка экстремума.

Замечание: Точки, в которых частные производные 1-го порядка существуют и равны нулю называются стационарными точками. Стандартные точки являются «подозрительными» на наличие экстремума.

Экстремум может быть не только в стационарных точках. (Пример- конус , для

него минимум в точке

Поэтому необходимо рассматривать точки, в которых частные производные 1-го порядка не существуют или равны . В этих точках тоже может быть экстремум.

БИЛЕТ 15. Теорема о достаточных условиях наличия экстремума ФМП.

Определение: говорят, что в точке функция имеет максимум (минимум), если существует окрестность точки , для всех точек которой выполняется .

В случае строгого неравенства такой максимум (минимум) называется строгим. Точки максимума и минимума называются точками экстремума.

Напоминание:

-квадратичная форма. Квадратичная форма называется положительноопределенной (отрицательноопределенной), если , причем .

Матрица квадратичной формы :

, ,…, -главные миноры.

Критерий Сильвестра:

1) Квадратичная форма является положительноопределенной, тогда и только тогда, когда все главные миноры матрицы положительны.

2) Квадратичная форма является отрицательноопределенной, тогда и только тогда, когда главные миноры матрицы имеют чередующиеся знаки, причем .

{в точке } (кв.форма от дифференциалов), где .

Теорема (о достаточном условии экстремума).

Пусть

1) в некоторой окрестности точки существуют и непрерывны частные производные по всем переменным до 2-го порядка включительно.

2) - стационарная точка , то есть .

Тогда, если квадратичная форма положительно (отрицательно) определена, то имеет минимум (максимум) в точке .

Доказательство:

Существуют непрерывные производные до 2-го порядка включительно в окрестности точки можно применить формулу Тейлора. Выпишем разложение в окрестности точки :

. Здесь лежит на -мерном отрезке, соединяющем точки и . Пусть для определенности ,

{так как непрерывны в точке }=

= ={ } = .

Получили, так как:

- не все равные нулю, так как

при ,

-непрерывна функция переменных , опред.на сфере достигает точки нижней грани, которая >0, так как

Слагаемое (так как граница)

в точке по определению минимум.

Аналогично доказывается, что если -отрицательно определена, то в точке максимум.

БИЛЕТ 16.Теорема о достаточных условиях отсутствия экстремума ФМП. Алгоритм поиска точек экстремума.

Определение: говорят, что в точке функция имеет максимум (минимум), если существует окрестность точки , для всех точек которой выполняется .

В случае строгого неравенства такой максимум (минимум) называется строгим. Точки максимума и минимума называются точками экстремума.

Пусть .

Теорема:

Пусть:

1) В некоторой окрестности точки существуют и непрерывны частные производные до второго порядка включительно.

2) - стационарная точка.

3) является знакопеременной квадратичной формой.

Тогда в точке экстремум отсутствует.

Доказательство:

. Пусть - стационарная точка (). Пусть .

-знакопеременная квадратичная форма .

.

Возьмем . Рассмотрим : ().

( - беск.м. при ; при ; ).

для некоторых точек окрестности точки .

Аналогично показывается, что для некоторых точек, достаточно близко лежащих к .

окрестности точки присутствует некоторые точки, в которых значение функции в точке нет экстремума.

Замечание: удобно использовать критерий Сильвестра для того, чтобы выяснить, является ли знакоопределенной.

1..

1). Поиск стационарных точек.

стационарная точка.

2)

. , . является положительноопределенной квадратичной формой в точке минимум.

2.

Очевидно, что минимум в точке .

Стационарная точка

.

Рассмотрим формулу Тейлора в точке .

= 0 = 0 = 0

Получаем, что - точка минимума.

Может также оказаться, что не является знакоопределенной, является полуопределенной: , но может быть , не только при всех . Это сомнительный случай. Тогда следует применить формулу Тейлора до более высокого, чем порядка, или использовать геометрические соображения.

БИЛЕТ 17.Постановка задачи об условном экстремуме. Решение задачи без использования метода неопределенных множителей Лагранжа.

Пусть есть

- условия связи.

.

Определение: Говорят, что в точке функция имеет условный минимум (максимум) при условиях связи (*), если существует окрестность , такая, что выполнено условие . .

Пусть функции имеют непрерывные частные производные по всем переменным в некоторой окрестности рассматриваемой точки .

произв. в точке .

Пусть минор того порядка . Пусть для определенности

в точке . Из теоремы о существовании и дифференцируемости неявных функций, называемых системой уравнений существует окрестность точки , в которой существуют и дифференцируемы неявные функции:

, определяемые системой уравнений (*).

1. Пусть могут быть выписаны неявно. Тогда задача об условном экстремуме функции при условиях связи (*) сводится к задаче об обычном экстремуме сложной функции

.

2. Пусть не удается явно выписать . Но мы знаем, что существуют и дифференцируемы. Вычислим .

. Здесь - дифференциалы некоторых функций. Поэтому можем сделать вывод о том, что в точке условного экстремума

берем дифференциал от левой и правой части, используем инвариантность 1-го дифференциала.

В окрестности точки

(V) .

Рассмотрим систему (**) как систему для определения , ( неизвестных, уравнений). Определитель этой системы совпадает с определителем (V), решения существуют.

Находим

. Подставим в .

Получим

. Но теперь - дифференцируемые, линейно-независимые переменные.

- уравнений.

Итог: чтобы найти точку, подозрительную на условный экстремум, в случае 2. надо составить систему:

, выразить через , подставить в , получить уравнений + уравнений связи. Получим систему из уравнений относительно координат точки возможного условного экстремума.

БИЛЕТ 18.Решение задачи об условном экстремуме в случае одного условия связи. Теорема о необходимых условиях наличия условного экстремума в этом случае.

,

Теорема:

1) Пусть функции имеют в окрестности рассматриваемой точки непрерывные производные 1-го порядка по всем переменным.

2)

3) -точка условного экстремума.

Тогда:

в точке .

Доказательство:

-точка условного экстремума. существует неявная, дифференцируемая функция , более того (V) задача об условном экстремуме сводится к задаче об обычном экстремуме сложной функции.

все производные функции в точке должны быть равны нулю.

Подставим (V)

.

БИЛЕТ 19.Метод неопределенных множителей Лагранжа решения задачи об условном экстремуме.

Теорема:

Пусть

1) является точкой условного экстремума для функции при условиях связи (*):

2) Функции , имеют непрерывные частные производные первого порядка по всем переменным в некоторой окрестности точки .

3) в точке .

Тогда существуют числа : точка является стационарной точкой функции Лагранжа.

.

Доказательство:

1) Вычислим

- соотношений (V).

Берем такими, чтобы все производных (V) были равны нулю в точке .

(VV).- система из уравнений относительно .

Определитель СЛАУ (VV) совпадает с Якобианом. действительно существуют. Фиксируем