Определение 1

Пусть выполнено:

1) , -внутренняя точка

2)

3)

Тогда функция называется непрерывной в точке

Определение 2: (непрерывность на языке )

1)Пусть . = . - внутренняя точка множества (точка сгущения)

. Тогда функция называется непрерывной в точке

Определение 3: (непрерывность на языке последовательностей)

1) Пусть точка - точка сгущения множества .

2) Пусть выполнено .

Тогда функция называется непрерывной в точке

Определение 4: (непрерывность на языке приращений)

Пусть , - внутренняя точка множества , , . Тогда функция называется непрерывной в точке

Замечание: . Фиксируем все переменные, например , …, . Тогда получим функцию одной переменной . Если окажется, что построенная функция одной переменной в точке непрерывна, то говорят, что непрерывна по переменной в точках . Может оказаться, что непрерывна в точках по каждой переменной в отдельности, но не является непрерывной по совокупности переменных.

Пример:

, ,

Но не является непрерывной по совокупности переменных .

БИЛЕТ 3.Частные производные ФМП. Определение, геометрический смысл.

Пусть , , - внутренняя точка

Фиксируем все переменные, кроме : .

Придадим приращение , достаточно малое, чтобы не покинуть ,

. – частичное (частное) приращение.

Определение: Пусть , тогда этот предел называется частной производной функции в точке по переменной .

Обозначение: ,

Замечание: , ,

Пример:

Функция не является непрерывной в точке , тем не менее обе частные производные в точке . Может быть и наоборот: функция является непрерывной в точке , а обе частные производные не в точке .

Пример:

не частных производных в точке , но функция является непрерывной в точке

Геометрический смысл частной производной:

,

, -касательная к кривой

БИЛЕТ 4.Дифференцируемые ФМП. Два определения дифференцируемости. Свойства дифференцируемых функций: существование частных производных и непрерывность.

Пусть , - внутренняя точка. Фиксируем , достаточно малые, чтобы новая точка осталась внутри . Полное приращение функции в точке : .

Определение: Функция называется дифференцируемой в точке , если ее полное приращение в этой точке представимо в виде: , (х)

Где -некоторые числа, независящие от

- бесконечно малые при

Утверждение: равенство (х) можно записать в эквивалентном виде (хх):

(хх), где .

То есть (х) (хх)

Утверждение: Пусть функция дифференцируема в точке . Тогда в точке частные производные по всем переменным и они равны :

,…, .

Доказательство:

.

Пусть , =0

, . Пусть и предел правой части:

, так как . Тогда и предел левой части:

Следствие: Для дифференцируемой функции можно записать .

Утверждение: Если функция дифференцируема в точке , то она непрерывна в этой точке.

Доказательство:

, , непрерывна в этой точке.

БИЛЕТ 5. Теорема о достаточных условиях дифференцируемости ФМП. Полный дифференциал, частичные дифференциалы. Использование первого дифференциала в приближенных вычислениях.

Теорема (о достаточных условиях дифференцируемости):

Пусть:

1) В некоторой окрестности точки

2) В самой точке - непрерывны.

Тогда: дифференцируема в точке .

Доказательство:

Пусть (если же , то доказательство аналогично).

, )- = , )- =

{в [ ]- разность значений функций одной переменной, в некоторой точке можно использовать формулу Лагранжа}

= { }= { - непрерывны в точке }=

( - бесконечно малые при ) дифференцируема по определению.

Определение: Пусть функция дифференцируема в точке .

= .

Главная линейная относительно часть приращения функции называется полным первым дифференциалом функции .

Величины называются частичными дифференциалами

Приближенные вычисления:

Пусть функция дифференцируема. .

Пример:

= =

Ответ:

БИЛЕТ 6. Дифференцируемость сложной функции. Инвариантность формы первого дифференциала.

Пусть -сложная функция от переменной .

Теорема: Пусть , дифференцируемы в точке (, , внешняя функция дифференцируема в точке , где , . Тогда сложная функция дифференцируема в точке , более того

; , где производные всех функций берутся в соответственных точках.

Доказательство: . Фиксируем , . Тогда получают точки приращения , , и изменяется значение функции .

{так как дифференцируема в точке } = =

{так как , дифференцируемы в точке (, } =

+ +

, где

(так как -дифференцируемая ф-я непрерывная).

дифференцируема в точке , причем ее производные по , вычисляются по формулам:

; .

Замечание: . ;

Теорема (об инвариантности формы первого дифференциала):

;

.

+

+ = + форма первого дифференциала не зависит от того, являются ли переменные в свою очередь функциями или нет.

Следствие: Пусть -функции. Тогда:

БИЛЕТ 7.Производные высших порядков. Теорема о равенстве смешанных производных.

Пусть , также вычислена - тоже функция от переменных .

Возьмем от производную по переменной : =

Таким образом, можно определить производные и 3-го порядка.

Замечание: - несмешанная производная 4-го порядка. Если же среди переменных, по которым берутся производные, есть хотя бы 2 различные, то такая производная называется смешанной.

Пример: . - несмешанные производные. - смешанные производные.

Теорема (о равенстве смешанных производных):

Есть функция

Пусть:

1) в некоторой окрестности точки частные производные .

2) непрерывны в точке

Тогда в точке .

Доказательство:

Рассмотрим вспомогательное выражение:

. Здесь -достаточно малые чтобы оставаться в пределах окрестности из пункта 1).

Вспомогательная функция:

(х)

Очевидно, = = . Но непрерывна в точке . Пусть . Тогда . Рассмотрим еще раз

= , где

. Аналогично получаем, что при .

Следовательно, .

Следствие:

. Пусть и непрерывны все частные производные до -го порядка включительно в области . Тогда смешанные производные до -го порядка не зависят от порядка дифференцирования.

БИЛЕТ 8.Дифференциалы порядков выше первого. Неинвариантность дифференциалов порядка выше первого.

. . В правой части стоит функция от переменных . - некоторые фиксированные постоянные. Возьмем дифференциал от левой и правой частей.

.

Формальная запись:

. Аналогично,

Вообще:

Пусть

.

Неинвариантность дифференциалов порядка выше 1-го.

, .

Докажем, что , то есть форма второго дифференциала зависит от того, являются ли переменные зависимыми или нет.

= {так как первый дифференциал инвариантен}=

+

+ .

Если бы были независимы, то форма второго дифференциала неинвариантна.

Частный случай:

.

БИЛЕТ 9.Касательный вектор ко кривой. Касательная плоскость к поверхности. Нормаль к поверхности. Геометрический смысл первого дифференциала.

1) Касательный вектор.

, где

Фиксируем . Придадим

,

Пусть . Тогда мы видим, что вектор направлен по касательной к кривой ,

. Вектор направлен по касательной к кривой .

2) Касательная плоскость к поверхности .

Пусть задана поверхность

Пусть точка - произвольная на поверхности

Проведем через точку кривую :

Строим - касательный вектор в точке к кривой .

, где

Но . Функции одной переменной (. , где .

Вектор grad S направлен по нормали к поверхности в точке .

Соотношение верно для любой кривой , проходящей через точку , целиком

лежащей на поверхности . Касательная плоскость к

в точке имеет уравнение:

-нормаль к поверхности в точке .

- уравнение нормали.

Замечание:

1). Пусть задана явно:

Касательная плоскость: + -

Нормаль:

2). касательная плоскость не существует и одна из производных не существует.