Ортонормированный базис

Для представления одномерных величин достаточно одного параметра. Например, при измерении длины используют один стандарт величины (сантиметры, миллиметры). Если принять, что 1 см – единица измерения, то 5 см больше 1 см в 5 раз, следовательно, выражается как 5 единиц. Так же и в векторном пространстве принято выбирать единицу измерения, которая выражает стандарт величины. Однако в двумерном пространстве одного параметра, измеряющего величину, недостаточно. Необходимы два параметра.

Пара взаимно перпендикулярных векторов называется ортогональным базисом. Кроме того, если , то эта пара называется ортонормированным базисом. Вектор с нормой, равной 1, называется единичным вектором. Иначе говоря, единичный вектор – это вектор, выражающий величину одной единицы измерения. Следовательно, ортонормированный базис представляет собой пару взаимно перпендикулярных единичных векторов, которые в совокупности с парой параметров дают величину вектора.

Рис. 6.21. Выражение вектора через ортонормированный базис

Выразим вектор f через векторы ортонормированного базиса , и совокупность коэффициентов C ₁, С ₂(рис. 6.21):

. (6.6.8)

Коэффициенты (С ₁, С ₂)выражают величину составляющих вектора f в направлении и в направлении . Иначе говоря, определяют величину вектора. Любой вектор на плоскости можно выразить через это соотношение. Векторы и называются проекциями вектора f.

Пусть дан вектор f и заранее образована система базисных векторов . Чтобы выразить вектор f через базис в соотношении (6.6.8), необходимо знать, как получить коэффициенты С₁ и С ₂.Забегая вперед, представим коэффициенты С ₁и С ₂как скалярные произведения вектора f на каждый из векторов и :

, . (6.6.9)