Додавання коливань. Загасаючі коливання

1 Амплітуда результуючого коливання, отриманого при додаванні двох коливань з однаковими частотами, що відбуваються за однією прямою, визначається за формулою

,

де A₁ і A₂ - амплітуди складових коливань.

2 Початкову фазу результуючого коливання можна знайти із формули

.

3 Частота биття, що виникає при додаванні двох коливань, які відбуваються за однією прямою з різними, але близькими за значенням частотами v₁ і v₂,

.

4 Рівняння траєкторії точки, яка бере участь у двох взаємно перпендикулярних коливаннях з амплітудами A₁ і A₂ і початковими фазами ₁ і ₂,

.

Якщо початкові фази j₁ і складових коливань однакові, тобто їх різниця фаз дорівнює нулю, результуючий рух точки відбувається по прямій, що проходить через початок координат

.

Якщо різниця фаз коливань = дорівнює нулю рівняння траєкторії набуває вигляду

,

тобто точка рухається по еліпсу, зведеному до координатних осей, у напрямі за годинниковою стрілкою або проти неї. Якщо , еліпс вироджується в коло.

5 Диференціальне рівняння загасаючих коливань

, або ,

де r - коефіцієнт опору; - коефіцієнт загасання (); - власна циклічна частота коливань ().

6 Рівняння загасаючих коливань (розв’язання диференціального рівняння)

,

де A(t) - амплітуда загасаючих коливань в момент t; - їх циклічна частота.

7 Циклічна частота загасаючих коливань

.

8 Залежність амплітуди загасаючих коливань від часу

,

де A₀ - амплітуда коливань у момент t = 0.

9 Логарифмічний декремент коливань

,

де A(t) і A(t+T) - амплітуди двох послідовних коливань, віддалених за часом одне від одного на період.

10 Диференціальне рівняння вимушених коливань

, або ,

де - зовнішня періодична сила, яка діє на матеріальну точку, що коливається, і викликає вимушені коливання; F₀ - її амплітудне значення; .

11 Амплітуда вимушених коливань

.

12 Резонансна частота і резонансна амплітуда

і .

Хвилі

1 Рівняння плоскої хвилі

або ,

де (x,t) - зміщення точок середовища з координатою x в момент t; - циклічна частота; х - швидкість поширення коливань в середовищі (фазова швидкість); k - хвильове число (, – довжина хвилі).

2 Довжина хвилі пов’язана з періодом T і частотою v співвідношеннями

і .

3 Різниця фаз коливань двох точок середовища, відстань між якими (різниця ходу) дорівнює x,

,

де - довжина хвилі.

4 Рівняння стоячої хвилі

або .

5 Фазова швидкість поздовжніх хвиль у пружному середовищі:

- у твердих тілах

,

де E - модуль Юнга; - густина речовини;

- у газах

, або ,

де - показник адіабати ( - відношення питомих теплоємкостей газу при сталих значеннях тиску та об’єму); R - газова стала; T - термодинамічна температура; m - молярна маса; Р - тиск газу.

6 Акустичний ефект Допплера

,

де v – частота звуку, що сприймається приладом (або вухом), який рухається; х - швидкість звуку в середовищі; u_пр - швидкість приладу відносно середовища; u_дж - частота звуку, що випромінює джерело.

7 Амплітуда звукового тиску

,

де v - частота звуку; A - амплітуда коливань частинок середовища; - швидкість звуку в середовищі; - його густина.

8 Середня об’ємна густина енергії звукового поля

,

де - амплітуда швидкості частинок середовища; - колова частота звукових хвиль.

9 Енергія звукового поля, яке розміщене у деякому об’ємі V з об’ємною густиною енергії

.

10 Потік звукової енергії

,

де W - енергія, що переноситься через дану поверхню за час t.

11 Інтенсивність звуку (густина потоку звукової енергії)

.

12 Інтенсивність звуку пов’язана з середньою об’ємною густиною енергії звукового поля співвідношенням

,

де - швидкість звуку в середовищі.

13 Зв’язок потужності N точкового ізотропного джерела звуку з інтенсивністю звуку

,

де r - відстань від джерела звуку до точки звукового поля, в якій визначається інтенсивність.

14 Рівень інтенсивності звуку (рівень звукової потужності в децибелах)

,

де I₀ - умовна інтенсивність, яка відповідає нульовому рівню інтенсивності (I₀ = 1 пВт/м²).

7 Електричні коливання і хвилі

1 Формула Томсона. Період власних коливань у контурі без активного опору

,

де L – індуктивність контуру; C – його електроємність.

2 Зв’язок довжини електромагнітної хвилі з періодом T і частотою коливань:

, або ,

де c – швидкість електромагнітних хвиль у вакуумі (c =3·10⁶ м/с).

3 Швидкість електромагнітних хвиль у середовищі

,

де – діелектрична проникність; – магнітна проникність середовища.