Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения

Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение

y ⁽ⁿ⁾ + a_{n -1}(x) y ^{(n - 1)} +... + a ₁(x) y ' + a ₀(x) y = f (x).

Общим решением этого уравнения на отрезке [a;b] называется функция y = Φ(x, C₁,..., C_n), зависящая от n произвольных постоянных C₁,..., C_n и удовлетворяющая следующим условиям:

− при любых допустимых значениях постоянных C₁,..., C_n функция y = Φ(x, C₁,..., C_n) является решением уравнения на [a; b];

− какова бы ни была начальная точка (x₀, y₀, y_1,0,..., y _{n − 1,0}), x₀∈ [a;b], существуют такие значения C₁ =C₁₀,..., C _n = C _{n 0}, что функция y = Φ(x, C₁₀,..., C _{n 0})удовлетворяет начальным условиям y(x₀) = y₀, y '(x₀) = y_1,0,..., y^{(n − 1)} (x₀) = y _{n − 1,0}.

Справедливо следующее утверждение (теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения).

Если все коэффициенты уравнения линейного однородного дифференциального уравнениния непрерывны на отрезке [a;b], а функции y₁(x), y₂(x),..., y _n (x)образуют фундаментальную систему решений соответствующего однородного уравнения, то общее решение неоднородного уравнения имеет вид

y(x,C₁,..., C _n) = C₁ y₁(x) + C₂ y₂(x) +... + C _n y_n (x) + y *(x),

где C₁,...,C _n — произвольные постоянные, y *(x) — частное решение неоднородного уравнения.

Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение с непрерывными на (e, ∞) коэффициентами и непрерывной правой частью

частным решением которого является функция

Фундаментальную систему решений соответствующего однородного уравнения образуют функции y ₁(x) = ln x, y ₂(x) = x.

Общее решение неоднородного уравнения имеет вид