Приложения алгебры логики в технике (релейно-контактные схемы)

Среди технических средств автоматизации значительное место занимают устройства релейно-контактного действия. Они широко используются в технике автоматического управления, в электронно-вычислительной технике и т.д.

Эти устройства (их в общем случае называют переключательными схемами) содержат сотни реле, электронных ламп, полупроводников и электромагнитных элементов. Описание и конструирование таких схем в силу их громоздкости весьма затруднительно.

Ещё в 1910 году физик П.С.Эренфест указал на возможность применения аппарата алгебры логики при исследовании релейно – контактных схем (РКС). Однако его идеи стали реализовываться значительно позже, когда создание общей теории конструирования РКС стало остро необходимым.

Использование алгебры логики в конструировании РКС оказалось возможным в связи с тем, что каждой схеме можно поставить в соответствие некоторую формулу алгебры логики, и каждая формула алгебры логики реализуется с помощью некоторой схемы.

Это обстоятельство позволяет выявить возможности заданной схемы, изучая соответствующую формулу, а упрощение схемы свести к упрощению формулы.

С другой стороны, до построения схемы можно заранее описать с помощью формулы те функции, которые схема должна выполнять.

Рассмотрим, как устанавливается связь между формулами алгебры логики и переключательными схемами.

Под переключательной схемой понимают схематическое изображение некоторого устройства, состоящего из следующих элементов:

1) переключателей, которыми могут быть механические действующие устройства, электромагнитные реле, полупроводниковые элементы и т.д.;

2) соединяющих их проводников;

3) входов в схему и выходов из неё (клемм, на которые подаётся электрическое напряжение). Они называются полюсами схемы.

Простейшая схема содержит один переключатель P и имеет один вход А и один выход В. Переключателю Р поставим в соответствие высказывание р, гласящее: «Переключатель Р замкнут». Если р истинно, то импульс, поступающий на полюс А, может быть снят на полюсе В без потери напряжения. Будем в этом случае говорить, что схема проводит ток. Если р ложно, то переключатель разомкнут, и схема тока не проводит или на полюсе В снимается минимальное напряжение при подаче на полюс А максимального напряжения. Таким образом, если принимать во внимание не смысл высказывания, а только его значение, то можно считать, что любому высказыванию может быть поставлена в соответствие переключательная схема 1.

Схема 1.

Формулам, включающим основные логические операции, также могут быть поставлены в соответствие переключательные схемы.

Конъюнкция двух высказываний p и q будет представлена двухполюсной схемой с последовательным соединением двух переключателей P и Q (схема 2).

Схема 2.

Эта схема пропускает ток тогда и только тогда, когда истинны и p, и q одновременно, то есть истинна конъюнкция p & q.

Дизъюнкция двух высказываний p и q изобразится двухполюсной схемой с параллельным соединением двух переключателей P и Q (схема 3).

Схема 3.

Эта схема пропускает ток в случае, если истинно высказывание р или истинно высказывание q, то есть истинна дизъюнкция p v q.

Если высказывание есть отрицание высказывания р, то тождественно истинная формула изображается схемой, которая проводит ток всегда(схема 4), а тождественно ложная формула изображается схемой, которая всегда разомкнута (схема 5).

Схема 4.

Схема 5.

Из схем 1, 2 и 3 путём последовательного и параллельного их соединения могут быть построены новые двухполюсные переключательные схемы, которые называют П – схемами.

Так как любая формула может быть записана в ДНФ или КНФ, то ясно, что каждой формуле алгебры логики можно поставить в соответствие некоторую РКС, а каждой РКС можно поставить в соответствие некоторую формулу алгебры логики.

Некоторые РКС путём равносильных преобразований соответствующей формулы алгебры логики можно получить РКС, содержащую меньшее число переключателей. Проблема решения этой задачи носит название проблемы минимизации.

Пример 1. Составьте РКС для формулы :

Решение.

Данной формуле соответствует следующая П – схема:

Пример 2. Найдите функции проводимости следующих релейно-контактных схем:

Решение.

Для П – схемы

соответствующая формула алгебры логики имеет вид:

L () () ()

Упростим эту формулу следующим образом:

L ( ()) ( ())

(() ())

Последней формуле соответствует П-схема:

Пример 3. Построить РКС для F(x,y.z), если известно, что:

1. F(1,1,0) = F(0,0,0) = F(1,0,0) = 1

Решение.

Используя СДНФ (также можно использовать СКНФ), найдём сначала аналитическое выражение для функции F проводимости исходной схемы:

Максимально упрощая это выражение получим

После этого начертим релейно-контактную схему, для которой полученное выражение представляет собой функцию проводимости.