Понятие высказывания

Логика есть великий преследователь тёмного

и запутанного мышления; она рассеивает туман.

Д.-С.Милль

Учение о высказываниях – алгебра высказываний, или алгебра логики, является простейшей логической теорией. Она рассматривает конечные конфигурации символов и взаимоотношения между ними. Знакомство с законами алгебры высказываний облегчает изучение более сложных логических исчислений.

Основным (неопределяемым) понятием математической логики является понятие «простого высказывания». Под высказыванием обычно понимают всякое повествовательное предложение, утверждающее что-либо о чём-либо, и при этом мы можем сказать, истинно оно или ложно в данных условиях места и времени.

Логическими значениями высказываний являются «истина» и «ложь».

Приведём примеры высказываний.

1. Великий Новгород стоит на Волхове.

2. Париж – столица Англии.

3. Карась не рыба.

4. Число 6 делится на 2 и на 3.

5. Если юноша окончил среднюю школу, то он получает аттестат зрелости.

Высказывания 1), 4), 5) истинны, а высказывания 2) и 3) ложны.

Очевидно, предложение «Да здравствуют наши спортсмены!» не является высказыванием.

Высказывание, представляющее собой одно утверждение, принято называть простым или элементарным. Примерами элементарных высказываний могут служить высказывания 1) и 2).

Высказывания, которые получаются из элементарных с помощью грамматических связок «не», «и», «или», «если…, то…», «тогда и только тогда», принято называть сложными или составными. Примерами составных высказываний могут служить высказывания 3), 4) и 5), полученные из элементарных с помощью грамматических связок «не», «и», «если…, то…», соответственно.

Элементарные высказывания обозначаются малыми буквами латинского алфавита: a, b, c, … x, y, z, … или малыми буквами с индексами: x₁, x₂, x₃, …; истинное значение высказывания – буквой и или цифрой 1, а ложное значение – буквой л или цифрой 0.

Если высказывание a истинно, то будем писать a = 1, а если a ложно, то a =0.