Математическая формулировка принципа непрерывности магнитного потока

Итак, мы видели, что обоснование принципа замкнутости магнитного потока, предложенное Фарадеем, вызвало целый ряд сом­нений, которые до сих пор не могли быть разрешены путем непо­средственных экспериментов. Надо было подойти к этому вопросу как-то иначе. Максвелл первый дал математическое обоснование принципа непрерывности магнитного потока. Сущность рассуждений Максвелла сводится к следующему. Возьмем именно тот случай, когда магнитное поле, существующее внутри тела, недоступно наблюдению, для чего рассмотрим постоянный магнит (рис. 11).

Магнитные массы, явно участвующие в процессе создания магнит­ного поля постоянным магнитом, сосредоточена на полюсах N и S. Обозначим эти магнитные массы через + m и - m. Представим себе замкнутую поверхность S, охватывающую один из полюсов, напри­мер северный (сечение этой поверхности, изображено на рис. 11). Рассмотрим для данной замкнутой поверхности величину

где b— угол между направлением вектора магнитной индукции и внешнею нормалью к элементу поверхности ds, и, следовательно, Bcosb— нормальная составляющая магнитной индукции. Выраже­ние ®то представляет собою полный магнитный поток, пронизывающий данную поверхность. Попытаемся рассчитать этот поток. Вернёмся к известному уже нам соотношению (1):

Все три члена, входящие в него, суть векторы, т. е. величины, имеющие некоторое направление. В случае однородной, изотропной среды они совпадают по направлению, и мы имеем право говорить об алгебраической сумме их. Но в болеесложной обстановке В, Н и I могут и не совпадать по направлению, и тогда суммирование их должно производиться по прави­лам сложения векторов, т. е. геоме­трически, что будем отмечать, ставя черту над соответствующими величинами. Итак, в общем слу­чае можем написать.

Если есть геометрическая сумма , то проекция В на какую угодно ось будет равна алгебраической сумме проекции на ту же ось. Возь­мем за ось проекций направление нормали к элементу поверхности. Тогда на основании вышесказан­ного имеем:

где В, I и Н суть абсолютные ве­личины (тензоры) векторов

в некоторой точке поверхности s, a i и g— углы, образуемые напра­влениями с направлением нормали. Таким образом, интеграл

можно разбить на сумму двух интегралов:

Чтобы определить величину первого интеграла

представим себе, что данный магнит расчленен на бесконечное число нитеобразных магнитов, причем эти нити ориентированы так, что они везде касательны к вектору напряженности намагничения , характеризующему магнитное состояние вещества. Таким обра-

зом получим ряд бесконечно тонких магнитов длиною l с магнитными массами dm на концах. Произведение l • dm даст магнитный момент, относя который к единице объема, получим напряженность намагничения.

Если ds' есть поперечное сечение нитеобразного магнита, пер­пендикулярное его длине, то объем его будет l • ds'. Тогда напря­женность намагничения будет

Заменим нормальное сечение элементарного магнита ds' через элемент рассматриваемой замкнутой поверхности s. Очевидно, ds' =- ds• cosi (знак минус берем потому, что 1 внутри магнита в данном случае, когда замкнутая поверхность охватывает северный полюс магнита, направлена в сторону внутренней нормали к нашей поверхности). На основании этого можем написать:

Отсюда получаем:

Для того чтобы найти т, полную величину магнитной массы, находящейся внутри замкнутой поверхности s, необходимо проинте­грировать это выражение по всей замкнутой поверхности, так что:

На основания этого получаем для величины первого интеграле:

Для второго интеграла на основании теоремы Гаусса (см. § 2) имеем:

В результате, интересующий нас магнитный поток, пронизыва­ющий рассматриваемую поверхность, будет:

или

что и является математической формулировкой принципа непрерыв­ности магнитного потока.

Таким образом, полный магнитный поток, проходящий через любую замкнутую поверхность в направлении внешней нормали, равен нулю.

Рассмотрим, каков физический смысл полученного математи­ческого соотношения. Во всех элементах замкнутой поверхности, лежащих вне магнита, магнитное поле доступно нашему наблюдению, а мы непосредственным опытом можем убедиться в том, что в рас­сматриваемом случае магнитная индукция вне магнита всегда имеет положительную составляющую в направлении внешней нормали поверхности s. Следовательно, для того, чтобы полученное равенство имело физический смысл, мы должны мыслить магнитный поток внутри магнита направленным в сторону внутренней нормали той же замкнутой поверхности s. Обозначим через Ф_s0 поток, пронизыва­ющий часть поверхности s, лежащую вне магнита, а через Ф _s1 — поток, пронизывающий поверхность внутри магнита. Общий поток Ф_s, выразится их суммой:

На основании (5) имеем:

Знак минус говорит нам о различной ориентировке этих двух составляющих потока относительно нормали к поверхности. Соста­вляющие эти равны по абсолютной величине.

Итак, мы получили математическое обоснование вывода, сделан­ного Фарадеем в результате ряда его опытов:

Магнитный поток в целом и каждая составляющая его магнитная линия в частности всегда и везде представляют собою замкну­тые контуры, не имеющие ни начала ни конца. Магнитные линии никоим способом не могут быть разрезаны или разорваны и обнаружение концов их ни в каких процессах, в магнитном поле происходящих, невозможно.