Векторная алгебра. Координаты и векторы в пространстве

Направленный отрезок с началом в точке и концом в точке называется вектором. Обозначается или строчной буквой латинского алфавита: . Тогда координаты вектора = .

Длина отрезка называется длиной или модулем вектора и обозначается: . Вычисляется по формуле: .

Скалярным произведением векторов называется число, равное произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними:

Скалярное произведение в координатах. Пусть векторы , Тогда скалярно произведение косинус угла между векторами можно вычислить по формуле:

.

Векторным произведением векторов называется вектор, обозначаемый , и удовлетворяющий трём условиям:

· перпендикулярен каждому из перемножаемых векторов;

· его длина - ,

· тройка векторов - правая.

Векторное произведение в координатах:

,

где: - единичные векторы.

Геометрический смысл векторного произведения. Модуль векторного произведения равен площади параллелограмма, построенного на приведенных к общему началу векторах (рисунок 1):

.

Рисунок 1 - Площадь параллелограмма равна векторному произведению

Смешанным произведением векторов называютвекторно-скалярное произведение трех векторов .

Смешанное произведение в координатах: , тогда .

Геометрический смысл . Смешанное произведение трех векторов равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах, взятому со знаком «плюс», если эти векторы образуют правую тройку, и со знаком «минус», если они образуют левую тройку, т.е. .