Рівняння Максвела в комплексній формі

Рівняння Максвела – це лінійні диференціальні рівняння. Тому, при вивчені гармонічних полів, замість векторів і можна розглядати комплексні вектори.

, (2.61)

які зв’язані з векторами і співвідношенням

. (2.62)

Якщо електричний вектор заданий у вигляді

, (2.63)

то комплексна амплітуда буде мати вид

. (2.64)

Якщо всі складові змінюються по фазі, то запис спрощується, наприклад,

, то (2.65)

Аналогічний запис можна зробити і для вектора : .

Перейдемо до комплексних зображень рівнянь Максвела. Перше рівняння Максвела в комплексній формі приймає вид

. (2.66)

Враховуючи, що

а ,

отримаємо

. (2.67)

Введемо позначення

(2.68)

і перепишемо рівняння (2.67) в формі

. (2.69)

Величина в (2.69) характеризує електричні властивості середовища і називається комплексною діелектричною проникністю середовища. Її значення залежить від частоти. Величина дорівнює відношенню амплітуд густин струму провідності і струму зміщення, і називається тангенсом кута втрат (рис. 2.9):

. (2.70)

Тоді

. (2.71)

В загальному випадку комплексну діелектричну проникність середовища можна записати:

, (2.72)

де і – дійсні числа.

Вираз (2.72) дозволяє врахувати залежність електричних властивостей речовини від частоти, тобто її дисперсію. Одночасно враховується явище запізнення вектора відносно вектора в високочастотних електричних полях (діелектричний гістерезис), а також залежність провідності речовини від частоти.

В загальному випадку

. (2.73)

З урахуванням цього зауваження, критерій класифікації середовищ можна записати

(2.74)

З співвідношення для бачимо, що діелектричні властивості сильніше проявляються на більш високих частотах. Метали мають велику питому провідність. Наприклад, холоднокачана мідь має , залізо – .

У типових діелектриків, навпаки дуже мала. Наприклад, у кварцу .

Існує ряд середовищ, які займають проміжне положення між провідниками і діелектриками, наприклад, вода, грунт і ін.

Наприклад,

у дистильованої води ;

у сухого грунту ;

у морської води ;

у вологого грунту .

Такі середовища на одних частотах поводять себе як провідники , а на інших – діелектрики .

Розглянемо друге рівняння Максвела. В загальному випадку, при переході до комплексних векторів, магнітну проникність середовища також треба вважати комплексною величиною:

. (2.75)

Кут характеризує відставання по фазі вектора від вектора , наприклад, у феромагнетиках (явище гістерезису).

З урахуванням цього, друге рівняння Максвела можна записати

. (2.76)

Третє і четверте рівняння є наслідком перших двох: (2.69) і (2.70). Взявши дивергенцію від обох частин цих рівнянь, отримуємо

, через те, що , то . (2.77)

Аналогічно,

, то . (2.78)

Таким чином, гармонічні поля описуються системою рівнянь

(2.79)

Система рівнянь Максвела, яка враховує сторонні струми і заряди, у випадку гармонічних полів має вигляд

(2.80)