Логарифм комплексного числа, степень комплексного числа. Геом интерпретация

.

Натуральным логарифмом комплексного числа r (cosj + i sinj) называется показатель степени, в которую надо возвысить e, чтобы получить логарифмируемое число. Обозначив натуральный логарифм фимволом Log, можно сказать, что равенство

Log [ r (cosj + i sinj)] = x + yi

равносильно следующему:

e^x+yi = r (cosj + i sinj).

Последнее равенство можно написать так:

e^x (cos y + i sin y) = r (cosj + i sinj),

откуда, сравнивая модули и аргументы, получим:

e^x = r, y = j + 2 k p (k = 0, ±1, ±2,...),

т.е.

x = log r и x + yi = log r + (j + 2 k p) i

и окончательно

Log[ r (cosj + i sinj)] = log r + (j + 2 k p) i,

т.е. натуральный логарифм комплексного числа равен комплексному числу, вещественная часть которого есть обычный логарифм модуля, а мнимая часть представляет собою произведение i на одно из значений аргумента.