Производная по направлению

Пусть в плоскости XOY расположена точка M ₀ (x ₀, y ₀). Зададим произвольный угол a и рассмотрим множество точек на той же плоскости, координаты которых определяются из формул

x = x ₀ + t cos a, y = y ₀ + t sin a. (1)

Здесь t ‑ параметр, который может быть равен любому числу. Из формул (1) следует:

(y - y ₀)/(x - x ₀) = tg a

Это означает, что все точки M (x,y), координаты которых удовлетворяют равенствам (1), лежат на прямой, проходящей через точку M ₀(x ₀ ,y ₀) и составляющей угол a с осью OX. Каждому значению t соответствует единственная точка M (x,y), лежащая на этой прямой, причем согласно формуле (1) из расстояние между точками M ₀(x ₀ ,y ₀) и M (x,y) равно t. Можно считать эту прямую числовой осью с положительным направлением, определяемым возрастанием параметра t. Обозначим положительное направление этой оси символом l.

l. Производной функции z = f (x,y) в точке M ₀(x ₀ ,y ₀) по направлению l называется число

. (2)

Производной функции по направлению можно дать геометрическую интерпретацию. Если через прямую l, определяемую формулами (1), провести вертикальную плоскость P (на самом деле в трехмерном пространстве уравнения (1) определяют эту самую плоскость), то эта плоскость пересечет поверхность-график функции z = f (x,y) вдоль

некоторой пространственной кривой L. Тангенс угла между горизонтальной плоскостью и касательной к этой кривой в точке M ₀(x ₀ ,y ₀)равен производной функции в этой точке по направлению l.

В любом курсе математического анализа доказывается, что производная по направлению, определяемая формулой (2), может быть представлена в виде

. (3)

Заметим, что частная производная по x тоже является производной по направлению. Это направление определяется равенствами: cos a = 1; sin a = 0. Аналогично частная производная по y — это производная по направлению, которое можно задать условиями cos a = 0; sin a = 1.

Прежде, чем анализировать формулу (3), приведем некоторые понятия и факты из курса векторной алгебры. Пусть в плоскости с системой координат XOY задан направленный отрезок или (что то же самое) вектор, причем точка M ₀(x ₀ ,y ₀)является его начальной точкой, а M ₁(x ₁ ,y ₁)‑ конечной точкой. Определим координату вектора по оси OX как число, равное x ₁ ‑ x ₀, а координату по оси , как число, равное y ₁ ‑ y ₀. Если задать упорядоченную пару любых чисел a и b, то эти числа можно рассматривать как координаты некоторого вектора в плоскости XOY, причем длина этого вектора определена формулой

,

а тангенс угла наклона g вектора к оси OX определяется из формулы tg g = b/a (отметим, что зная величину tg g, а также знак любого из чисел a и b, мы можем определить угол g с точностью до 2 p).

Представление вектора в виде пары его координат будем записывать в виде . Такое представление имеет одну характерную особенность: оно не определяет местоположение вектора на плоскости XOY. Чтобы его определить, нужно наряду с координатами вектора задавать, например, координаты его начальной точки или, как её можно назвать, точки приложения вектора.

Если заданы два вектора: и , то скалярным произве­дением этих векторов называется число (j ‑ угол между векторами).

В любом курсе векторной алгебры доказывается, что скалярное произведение векторов и равно сумме произведений одноименных координат этих векторов:

= a ₁ b ₁ + a ₂ b ₂. (4)

Пусть в некоторой области G плоскости XOY задана функция z = f (x,y), имеющая непрерывные частные производные по обоим аргументам.

Градиентом или вектором-градиентом функции f(x,y) в точке (x,y) Î G называется вектор, который задается формулой

.

Функция f определяет для каждой точки области G вектор-градиент, исходящий из этой точки.

Возвратимся теперь к формуле (3). Ее правую часть мы можем рассматривать, как скалярное произведение векторов. Первый из них ‑ вектор-градиент функции z = f (x,y) в точке M ₀(x ₀ ,y ₀):

.

Второй – вектор . Это вектор, имеющий длину 1 и угол наклона к оси Ox, равный a.

Теперь можно сделать вывод, что производная функции z = f (x,y) по направлению, определяемому углом a наклона к оси OX, в точке M ₀(x ₀ ,y ₀) может быть вычислена по формуле

. (5)

Здесь b ‑ угол между вектором и вектором , задающим направление, по которому берется производная. Здесь также учтено, что

Из формулы (5) можно сделать очень важное заключение: производная по направлению от функции z = f (x,y) в точке M ₀(x ₀ ,y ₀) достигает наибольшего значения, если это направление совпадает с направлением вектора-градиента функции в рассматриваемой точке, так как cos b £1, и равенство достигается только если b = 0 (очевидно, что другие решения уравнения cos b = 1 нас в данном случае не инте­ресуют). Иначе можно сказать, что вектор-градиент функции в точке направлен в сторону наискорейшего возрастания функции в этой точке.

Кроме того из формулы (5) следует, что наибольшее значение производной по направлению в точке или наибольшее значение скорости возрастания функции в точке равно длине вектора-градиента функции в этой точке.

Пример. Требуется найти производную функции z= по направлению, составляющему угол в 60° с осью OX, в точке (1;3).

Решение. Найдём частные производные функции:

;

Теперь можно определить градиент функции в точке (1;3):

Принимая во внимание, что cos , sin = т.е. , воспользуемся формулой производной по направлению , получим: