Дифференциал функции двух переменных

Рассмотрим функцию z = f (x, y), имеющую в точке Р₀(х ₀, у ₀) частные производные _x (х ₀, у ₀) и f _у (х ₀, у ₀). Перейдём от точки Р₀ к точке R₀(x ₀+ x, y ₀+ у), придавая переменным х и у в точке Р₀ произвольные приращения x и у, соответственно. При этом функция в точке Р₀ получит приращение

f (х ₀, у ₀) = f (x ₀+ x, y ₀+ y) – f (x ₀, y ₀) = f (R₀) – f (P₀).

Если приращение функции f (x, y) можно представить в виде

f (х ₀, у ₀) = f _x (х ₀, у ₀) x + f _у (х ₀, у ₀) у + ( + ( x; у) у, (1)

где , то функция называется дифференцируемой в точке Р₀(х ₀, у ₀). Сумма первых двух слагаемых в правой части равенства (1) называется дифференциалом функции f (x, y) в точке Р₀ и обозначается df (x ₀, y ₀):

df (x ₀, y ₀) = f _x (х ₀, у ₀) x + f _у (х ₀, у ₀) у. (2)

Если точка, в которой вычисляется дифференциал не существенна, его принято обозначать просто df. Из определения следует, что дифференциал представляет собой главную часть приращения функции, линейную относительно приращений её аргументов. Полагаяпоочерёдно f (x, y) = х и f (x, y) = у, получим, что дифференциалы dх и dy независимых аргументов функции х и у равны соответственно d x и у. Таким образом

df = f _x dх + f _у dу.

Раньше говорилось о том, что из существования частных производных в точке не следует непрерывности функции в этой точке. Однако, из справедливости равенства (1) следует

а это означает непрерывность функции в точке (х ₀, у ₀). Следовательно, дифференцируемая в точке функция обязательно непрерывна в этой точке.

Из сказанного следует, что существование обеих частных производных функции в точке не означает, что функция дифферен­цируема в этой точке. В курсе математического анализа доказывается теорема, что функция дифференцируема в точке, если обе частные производные этой функции непрерывны в этой точке.

На рисунке 1 график функции z = f (x, y) представляет собой поверхность F. Длина отрезка Р₀Р равна значению функции z в точке P₀,

Рис.1 Поверхность функции z=f(x,y)

то есть = f (x ₀, y ₀) (на рисунке для наглядности поверхность F выбрана так, что все рассматриваемые значения функции и приращения в точке P₀ положительны, но это не ограничивает справедливости приведенных выше выводов и формул в общем случае). Координатами точек Q₀, S₀ и R₀ являются пары чисел соответственно (x ₀, y ₀+ у); (x ₀+ x, y ₀) и (x ₀+ x, y ₀+ у), причём = f (Q₀), S₀S = f (S₀) и = f (R₀). Приращение f (х ₀, у ₀) функции в точке Р₀ равно

Параллелограмм PQ₁R₁S₁ лежит в плоскости, которая касается поверхности F в точке Р. Прямоугольник PQ₂R₂S₂ расположен в горизонтальной плоскости.

Очевидно: çQ₂Q₁ç = f ¢ _y (x ₀, y ₀)D y и çS₂S₁ç = f ¢ _x (x ₀, y ₀)D x.

Из легко доказываемого равенства

çR₂R₁ç = çS₂S₁ç + çQ₂Q₁ç

и формулы (2) df (x ₀, y ₀) = f¢_x (х ₀, у ₀)D x + f¢_у (х ₀, у ₀)D у. следует, что дифференциал функции в точке Р₀ равен çR₂R₁ç.

Так как df (x ₀, y ₀)»D f (x ₀, y ₀), дифференциал df даёт приближенное значение приращения функции при малых значениях приращений аргументов.